CHAPITRE VI. l8l

6(5) = o devra avoir toutes ses racines nulles sauf deux, donc A et tous ses mineurs devront être nuls jusqu'à ceux du troisième degrv3 inclusivement.

Troisième application. — /= Y^atjXiXj peut-il conserver un signe constant, quels que soient Xi, x^y . • ., x,if

Oui, si toutes les racines de 8(5) = 0 sont de môme signe, c'est-à-dire si 8(5) ou 0( — s) n'ont que des variations ; dans le premier cas / sera positif, dans le second il sera toujours négatif.

Quatrième application. — Trouver la condition pour que Von puisse, par une substitution linéaire, transformer le polynôme

/ = A j-'- H- A>s -+- yz^- -+- X \iyz -+- '1 ?>xz H- a H'xy -t- -iCx -+- 'iCJy -\- iCz -¥■ D

et le mettre sous la forme

Xî -+- Y« -+- II,

II désignant une constante (*).

Il faut quc^ rendue homogène puisse se réduire à une somme de trois carrés ; donc, son discriminant étant désigné par A, on devra avoir

Une substitution linéaire faite sur l'ensemble des termes de second degré doit ramener cette somme à deux carrés;

donc, en appelant 8 le discriminant -rjr des termes du

second degré, on doit avoir

{b) — = 0 ou 8 = 0.

Les conditions (rt), (6) peuvent se transformer; en effet,

(*) C'est dcinandor la condition pour que/=: o représente un cylindrt*.

l82 TRAITÉ D ALGÈBRE.

on peut vérifier que

OUdX'

~ dD dX" \0C') '

donc, si A et -n^ sont nuls, on a aussi

dC''' dC'""^' 5(7"^' 5D""°' et vice versa d'ailleurs.

VL — aUELaUES MOTS SUR LA BÉDUGTIOH SQEDLTAltE SE DEUX POLYNOMES A UNE SOMME DE CABBÏS.

Une substitution orthogonale n'altérant pas une somme de n carrés, en d'autres termes, x] -^ x\ -h ..,-{- x\ devenant j^| +JK5 -i" • • • H" J'î P^^ u"C substitution orthogonale, il en résulte que l'on peut toujours, au moyen de deux substitutions orthogonales successives, ramener simultanément deux fonctions du second degré à des sommes de carrés. En effet, considérons les deux fonctions à n variables

effectuons la substitution orthogonale qui ramène / à la forme54r; ■+-...-+- .^„j Jî, en posant} « = -^9 ^ 2 = -^> •••;

la fonction f sera ramenée à la forme z\ '■\- z\ -{- . , et la fonction g pourra être représentée par ^CijZiZj. Si maintenant on effectue une nouvelle substitution orthogonale, celle qui ramène HtCijZiZj à une somme de carrés

A,f' -h. . .-h A„«,%/ prendra la forme

puisque la définition même de la substitution orthogonale est de conserver leur forme aux fonctions