CHAPITRE VI. l

La méthode que nous venons d'indiquer tombera en défaut quand y*et g seront à la fois des sommes de moins

de n carrés, parce qu'alors la substitution j>= -4ii •••

sera illusoire, Vune des quantités s^ s'annulant. Mais alors fel g ne sont plus, à proprement parler, des fonctions de n variables, et c'est sur les variables effectives, c'est-à-dire réduites à leur minimum, que l'on effectuera les substitutions orthogonales dont il a été question.

Comme on le voit, la substitution unique qui revient aux deux substitutions orthogonales que l'on est obligé de faire ne sera pas toujours réelle, puisque l'on doit remplacer j^« par -rlri • • • et que 5,, 52, ... peuvent être néga-

tifs; mais on voit qu'elle sera réelle si V une des formes j ou g est une somme de carrés tous positifs ou tous négatifs.

La possibilité de réduire deux formes à des sommes de carrés étant établie, voici comment il conviendra de procéder dans la pratique.

On effectuera sur y et sur g la substitution (i) sans la supposer orthogonale, c'est-à-dire sans supposer les relations (2), et, pour ramcneryet g à des sommes de carrés, on posera, comme on a fait plus haut pour/ seul,

(16) 2^/V7/Hi7yv = o, lb,jyi^yj^ = o,

(17) 2fl/y7,>7y^=A^, lb,jyf^yj^=:B,;

en appelant alors/Jj/i? • • • les demi-dérivées de

prises par rapport à y,^, ya^, ..., et gi, gt^ ... celles ^^ Siy^y^^ y^H^î •••) par rapport aux mêmes variables y^,

l34 TRAITÉ d'algèbre.

y.j^, . .., les formules (i6) et (17) s'écriront

1' yi7iv ~1~/j7îv -f- . . . ;- .///V 'V = O»

(»9) /(7i:*'7îji> •••)=^^:m fi [y \\>.^ '/ z^^ ...) = Dj

Des équations (i8) on tire

et, si l'on désigne par X cette suite de rapports égaux, on aura, pour déterminer y i^,, yojt» • • •> 7/ïnj les équations

que Ton peut écrire

(''Il — >-^n)7ii*

-4- ;«is — >^i2)72j^-+--- .-^- (^'i« — ^^i/i)7/îi» = o»

(«ni — X ^.71)711*

\ -H («;/ï— ^•^/iî'7::*-+-- • •+ («.7/t — ^^/l«)7//:*=^• Pour les résoudre, on formera Téquation en k

•'ni — '' ''/Il '''//î '' '''//S • • • 'hin '• '''// •/ .

Cette équation a n racines X|, ).2, ..., Âi, . ., X^. Os racines, portées dans les équations (20), feront connaître les rapports des quantités y,.^, yo.^, ... à Tune d'elles; on

ciiapitrï: VI. ig'j

achèvera de les déterminer, si Ton veut, en se donnant Â|, A V

Chaque racine de l'équation en i faisant connaître un groupe des quantités y, .4, y^j*? • . ., le problème sera résolu.

Si Ton multiplie les équations (îîo) par yi^, y^j^, . . . respectivenïent et si on les ajoute, on trouve, en remplaçant X parX^,

Ainsi, en résumé, pour ramener simultanément deux formes à des sommes de carrés, on peut se donner aroi^ frairement la forme réduite de l'nnn

et Vautre sera alors

ii, Ij) • • •) Xi étant les racines de l'équation obtenue en égalant à zéro le déterminant dont les éléments sont les coefficients des dérivées def — Xg,

La discussion de Téquation en X est un peu compliquée; nous ne la donnerons pas pour ce motif.

Vn. — SUR IE8 IHYAEIAIITS.

Soient, en général, '^(.ri, .^2, ...,x„,«, i, c, ...)une fonction des variables Xi, j'o, . . ., x,;, et a, h, c, , . , ses coefficients; si Ton fait subir à ses variables une substitution linéaire, c'est-à-dire si Ton pose

*^*l =^ ''11. ^'1 "H ^lï.Vj -h . . . -+- ^i,7.X/|, l *^« ^^^ ^rtl y'i "+" ^'ntXi~^ . . • -t- <^nnXn*

TRAITÉ D*ALGBBBE.

cette fonction ^ se changera en une fonction

des variables /« ,^'3, • • v dont les coefficients seront cl^ V^

Ceci posé, si Ton a 12 désignant une puissance du déterminant

ti

tt

«1 *'rti

on dira que d(a, 6, c, . . .) est un invariant, C est ce que Ton appelle le module^ ou le déterminant de la substitution. Une substitution est unimodulaire quand son module est I.

Un invariant 6(a, 6, c, . . .) est absolu quand on a

On appelle discriminant d'une fonction homogène du second degré le dernier terme de Téquation en s relatif à cette fonction, ou, si Ton veut, le déterminant de ses coefficients.

Théorème I. — Le discriminant d' une fonction homogène du second degré est un im^ariant.

Considérons, en effet, la fonc ti o n ^ a/y XjXj , et détcr-

minons la quantité s de telle sorte que

se réduise à une somme de /i — i carrés. Pour qu'il en soit