CHAPITRE VI
ainsi y il faut écrire que le discrimiDant de cette fonction est nul ou que
^in
^ia
^nl
f'ni
nn ^
Celaposéy appliquons à la fonction (2) la substitution (i); elle prendra la forme
^^ijfiXj — ^^^'ijriXj^
^bijjiji désignant la fonction dans laquelle se transforme ^aijXiXj et^kijjnjrj la fonction dans laquelle se transforme
J"? 4- ^ î -f- . . . -h x' , en sorte que Ton a
^ij = ^U^IJ -^ ^ii^lj -f- . . . -f- CniC„j.
Or, si la fonction (2) est une somme de n — i carrés, la fonction (4) devra être aussi, pour les mêmes valeurs de 5, une somme de /i — i carrés, en vertu de la loi de M. Svlvester (p. 175); donc on devra avoir
^in —
^/il — ^'nl^ ^ni — ^/il-^ ••• ^/i/i —
^nw^
Les équations en 5 (3) et (6) ont donc les mêmes racines^ et, par suite, le produit des racines doit être le même dans ces deux équations; on en conclut
B A = - ou H = AK, K
A désignant le déterminant des quantités a/y, B celui des quantités bij et K celui des quantités Â/y. Or A est le dis-
l8S TRAITÉ D*AIXÏÉBRR.
criniinant de la fonction ILaijXiXj^ B est le discriminant de la ionction transîormce ^bij ) ijj\ quant à K, c'est précisément, en vertu des relations (5), le carré du déterminant C de la substitution (t. I, p. i40* ^^^^ •
Le nouveau discriminant est égal à l'ancien, multiplié par le carré du déterminant de la substitution; donc le discriminant d'une fonction du second degré est un invariant.
Théorème II. — Les coefficients de l'équation en s (3) sont, si Ton peut s'exprimer ainsi, des invariants de la fonction ^L ai jXiXj pour toute substitution orthogonale.
En effet, Téquation en s s'obtient en égalant à zéro le discriminant de
or, ce discriminant étant désigné par S et celui de la fonction F transformée par ï, on a identiquement
Les coelFicients de T ne diffèrent donc de ceux de S que j3ar le facteur C^= i . c. q. f. d.
C'est ce qui était presque évident a priori; en effet, en égalant à zéro les coefficients de l'équation en Sy on exprime que léUijXiXj se décompose en n carrés, dont un, deux, trois, etc., sont nuls.
