CHAPITRE VI. ,3q

a.n ses racines. Le polynôme

{jr. — ai)(j:oH- .r, aj -f- .rjaj -4- . . . -h .r;,,aî*~*)* H- ( jî — «5) ( Xq + X| aj + Xj a* + . . .4- J^;,| aj""* )*

que nous représenterons aussi par

( I ) V ( jr ) = 2 (.r — a,) (oTo -♦- -^1 a/ + . . . -*- .»-«-ia?"*)*,

est une somme de n carrés, qui contient autant de carrés positifs qu'il y a de racines réelles de [{^x") inférieures à x et autant de carrés négatifs qu'il y a de racines de y( j^) supérieures à x. J'ajoute qu'un couple de racines imaginaires introduit deux carrés imaginaires, dont la somme réelle peut être remplacée par la différence de deux carrés réels. En effet, considérons la somme

(a: — /? — <7 v^— I ) [xo -H Xi(/> -h 7 v^'— I ) -i- . . . ]' + (x — /^ -H 7 V''— 0 [-^0 + -^i (P — 7 v'— I / -♦- • • • j*.

oii p-h q \/ — I cl p — (/ \/ — 1 désignent deux racines conjuguées; elle peut se mettre sous la forme

A, B désignant des nombres indépendants de x©, Xi, . . . , x„iy et P, Q des fonctions linéaires de ces variables. En effectuant les calculs, on trouve aAfP^ — Q^) — 4BPQ, ce qui est bien une différence de carrés, les coefficients de P^ et Q^ étant de signes contraires.

Cela posé, soient N le nombre des racines réelles de /(x)= o inférieures à x, N' le nombre des racines réelles inférieures à j/, C le nombre des carrés positifs de V(a:), C'ie nombre des carrés positifs de V(j/), ai le nombre

IQO TRAITÉ d'aLGÊBHE.

des racines imaginaires Aef[x) = o; on aura

Donc le nombre N — N' des racines def{x) = o comprises en Ire x et jf est égal à la différence des nombres do carrés C et C positifs dans lesquels on peut décomposer Y{x)etY{xy

Reste à montrer comment on peut former V(x). En appelant So^Si^ s^, ... les sommes des puissances o, i, 2, . . . des racines dey(a:)= o, on a, en développant (i),

V (-r) = ^li^'^o^ — .^i) -f- 2-*-o-'*iS^i^ — ^i) + •^îl-^ï-^— *») -f- 2.ro.r, (^,x — 5j) -H . . . .

Le discriminant de V(x) est

Sq»V ■"- ^1

Si .1 .Vj

*i» — I «^ «»/i ^ Êi^ ^»—

ou

►rt-t

«jX — a^

•^rt •' *«+!

Jf«fi — «"3? ^«n—

»tn-î

fn— I

X — oin

/ï-i /i-i a, aj

ou y en appelant P le deuxième déterminant, qui n'est autre que le produit des différences des racines af , a^, . . . , a„j

0 [x) sera donc identiquement nul quand /{x) = o aura des racines égales. V(x), ce qui alors est bien évident, ne