CHAPITRE VI. ,QI

sera pas la somme de n carrés, mais de moins de n carrés. Le polynôme

S(^X — Si — s 5|J: — S^ ... ^n-l'' — ^rt

étant désigné par ^[s, x)^ on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Soient v le nombre des variations de ^{s, x) et (/ le nombre des variations de t|/(5, xf)\ le nombre de racines deff^x) = o comprises entre x et aJ sera la différence des nombres u et $/,

THÉORËKE DE BOBGHARDT.

Soit /(a:) une fouction entière du degré m, dans laquelle nous supposerons le coefficient de x"^ égala i ; soity(x) sa dérivée. Divisons J\x) pary'(x); soient q^ le quotient et — Ri le reste. Divisons ^^(j:) par Ri; soient q^ le quotient et — R, le reste, et ainsi de suite. On aura

et Ton pourra ainsi supposer^' = Ro, afin de régulariser la notation. Cela posé, on tire de là

OU bien, en inversant,

et Ton développe ainsi —z en fraction continue. Si Ton appelle — -- - ' tt^' • • • ? tt^ = -?■ les réduites successives

^' Ql 7l Q* Q/;i /

de cette fraction continue, on a, comme Ton suit (t. II,