L. - Algèhre, 111. l

194 TRAITÉ D'ALGéBRB.

Q/i+1 = Çn-^l Q/i — Q/.-H Ï^n-Hl = 7»-Hl ^ii — R/i--f

La dernière relation se déduit de (i). P{ous nous servirons de ces formules pour définir deux quantités P©, Qo» en y faisant ti = i , et nous aurons Pq = o, Qo = i , en observant

que Pi = I, Q, = <y,, Pa = ^2) Q2 = ^i Va — '• Cela posé, si Ton élimine ^,,+1 entre les formules (2), on trouve

P«4.iQ. -Q«H-iP„ = P.Q«-i-Q«P«-i= . = PiQo-QiPo.

P/î-f-I "« "n-+-l P/i -~ P» I^«- 1 — R/i P/i— 1 =^ • • • == Pi Rq «^1 Po»

Qn-M Rfl — R^/i-+-i Q/t -~ Q/i Rn-1 — R/i Q/i-1 = . . . = Qi Ro — Ri Qo»

c'est-à-dire

IP/i-hi Qn — Q/î+i P/» =^ ï »

Si Ton multiplie la première de ces équations par R,,, la deuxième par Q,,, la dernière par P„, on trouve, en les combinant convenablement par voie d^addition,

d'où

Si Ton observe que Q„ est de degré «, que P;i est de degré n — i et R„ de degré m — n —- i , et si l'on pose

(5) Q,^z=:n^-h âr,ar -h a^x* -;-... }- /?„ x'*,

NOTES. jq5

-et

^'oi ^1) ^2î ••• seront les sommes des puissances o, i, 2, ... des racines de Téquation y(j:) = o, et l'équation (4 his) deviendra

\~jc^ i^ -!-•••)( ''o -:- ^i ^ -+-••• -i- «« -^^ ) - ( ^0 -+- '^'i -^ ^" •• •)

Le second membre de cette équation peut être développé suivant les puissances de —\ le premier terme est

'"z^.Si Ton éffale alors les coefficients des mêmes puis-

sances de x et de - dans les deux membres, on a, entre

autres formules,

^o'^o "'" ^1^1 + • • • -î- f'n-^n = o ( coefïicient de - ) »

o 1 coefiicicnt de - j

Des 71 premières on tire les rapports des quantités a^^ ri,, . . ., a„ à Tune d'entre elles, et, en les portant dans la dernière et dans (5\ on trouve

formules dans lesquelles 1„ désigne un coefficient constant

encore inconnu et dans lesquelles on a posé

Dans la dernière des formules (3), égalons les coefficients de X'", en observant que dans Q„ le coefficient de x" est K^n-if que dans Qn+i îl est X//+i A;,, que dans R^ il est In^/ty que dans Q/|R/;+i il est zéro et que dans y* il est I par hypothèse; on aura

Aji^f A» A. — I

Or, en divisanty(x) pary^(a:),on trouve ^,= Q, =:::: — ou

Sf,x — s^ Gi

Si Ton égale cette valeur de Qi à )., G| on en conclut que ?.| est égal à ~» et la formule (lo) donne

On a ainsi l'cxprcssiou de X„ et de Q„ sous Ibrmc explicite

et il faut observer que X<, I21 • • •? ^/i sont essentiellement positifs, en sorte qu'à un facteur posili/' près Q^„ = G,/. Il V a une conséquence importante à tirer de là; comme

— ^= — r— Tî il faut en conclure, les polynômes f'(x) et

f[x) étant de mêmes degrés que Vm et Q^, que f{x) est égal à Qm à un facteur constant près, et Ton peut remplacer Téquation f(x) = o par Q;„ = o. Mais les polynômes Qo> Qi> ' ' y Qm o^ Go, G<, . . . , G;„,qui n'en difTèrent que par des facteurs positifs, forment une suite de Sturm. En effet, la deuxième formule (2) prouve que : i® quand Q„=o, Q/i i et Q/î+i sont de signes contraires; '2" Q;, et Q/i+i ne peuvent être nuls à la fois, sans quoi on aurait Q„< = o, Q;i 2=o, ..., Qo=o ou Qo=i; 3" quand Q^ ouy(x) s'annule, Qm-< est toujours de même signe que Q;;,, ou toujours de signe contraire avant le passage de Q^m par zéro; cela résulte de (4), qui devient, pour/(a:)=o,

Qnf = B,, et en particulier

Rm-< étant une constante; Qm-i est donc, poury = o, ou toujours de même signe ou toujours de signe contraire ày'(il va sans dire que Ton suppose Rm.i ^o, et, par suite, y n'a pas de racines doubles).

Corollaire. — Si dans la suite Go, G<, ..., G^t on suppose X = — 00 et X =■ 00 , les signes de ses termes seront ceux des suites

*^o» ^1» ^a» •••» — ^m> donc, pour que J\x) =. o ou G m = o ait toutes ses racines

igS TRAITÉ d'algèbre.

réelles et inégales, il faut et il suffit que A,,, A| , . . . , A soient tous positifs.

Ce théorème est dû à M. Borchardt, qui Ta démontré par d'autres considérations.

SÏÏB L'ÉLIMIHATIOH.

Je vais dans cette Note montrer que l'on peut mettre sous forme explicite la résultante d'un nombre quelconque d'équations algébriques. Ce résultat est la généralisation de celui que j'ai fait connaître à la page 1 9.3 ; je l'ai obtenu pour la première fois en iS^S. La démonstration que Ton va lire est le développement de celle que j'ai donnée dans les Nouvelles Annales de Mathématiques ; elle repose sur une généralisation de la formule de Lagrange que je vais d'abord faire connaître.