I. — Formule de Lagrange généralisée

Posons, en appelant Xi, a*2, . . . , d7„ des variables quelconques et F une fonction entière de ^<, . . . , ^„,

/i(.ri) — (a?!— aii)(a?i— au). ..(a^rt— ai,w,),

fni^n) = i^n — ^nl)(^n — ««2)- • • (^/t — «n.m,,),

o^iit ^i2i ^13 désignant des quantités distinctes, et

ku...k =

iXi—aii){Xi — ajy ). . .{Xn — a„A*)/i(aii)- • -/ni^nk)

La fonction Ç/y...^ sera nulle pour les valeurs des^ annulant les f excepté pour ^, = a,,-, ^o '-^ ^2/> • • • > valeurs pour lesquelles elle se réduira à l'unité; donc on a

(0 j V> fi(^ri)/2(Xi)...f„(.rn)F((Zxf, «Vy^/zA')

( ~-^(J^i— ail-;... C:r„ — a„;t)/iCai/ ).../«(«/!*)*

pour toutes les valeurs des x annulant les/*. En particulier, si F est de degrë /w, — i par rapport à ^i, . . ., de degré m^ — 1 par rapport à x^^ . . ., la formule (i) sera une identité.

Il y a plus : divisons F par/,, soient Q, le quotient, R, le reste, divisons R, par /a» soient Q2 le quotient, Rj le r«ste, etc., on aura

et par suite

et R« sera de degré m, — i en ^r, , . . . , du degré m^ — i en x^y ... ; de plus, R„ étant égal à F quand les/sont nuls, on aura

/ Fr-/,Q,H-/îQ,-f-...-i-/«Q« (2) I ^ y^ /i(3^t)'.-//i(^/i)F(tti/, . ;:. «/fit) ^