II. — Préliminaires
Je vais démontrer que, étant données /i équations algébriques (i) /, — o, /s i~ o, . . . , fn -■- o,
^^ f\y fil ' ' "f fn désignent des polynômes en x^^x-^y . . . , x'n des degrés //i, , w^, . . . , rïin :
I** // est possible de mettre leurs résultantes
(2) (j\(xi)=zOy Gi(a:,.»-^o, ..., Grt(ar„) = o
sous la forme de déterminants symétriques égaux à zéro, et d^ écrire e()'cctiKement, sans calculs préalables, les quantités G, , Gq, ... ;
2"* Les polynômes G,, G2, ..., G„ sont de degrés [X = /;i, m-i . . . mn\
200 TRAITÉ D*ALGÈnRR.
3® Les polynômes G|, G2, . . . sont de la forme
Gi = h.\\f\ -h Aiî^i , ,,-\r \\nfni
les )^/y désignant des polynômes entiers de degré (jl — m,- ; 4® ^^5 équations {\) ont ordinairement [x solutions.
Ces théorèmes sont surabondamment démontrés pour le cas où w = 2 ; j'admets qu'ils sont vrais pour le cas de n équations; je vais démontrer qu'ils ont encore lieu dans le cas où l'on considère n -\- i équations
(4) <Pl = 0, Cpî = 0. ..., Cpn-M— O.
©I, çp2, •.., ^n+\ désigneront alors des polynômes de degrés mi , m^^ . . . , /m^+i , en X| , ^2, . . • , Xn^\ \ je supposerai que niii^K est au plus égal au plus grand des nombres /Wi, m^^ mn- Les théorèmes seront alors démontrés.
Puisque nos théorèmes sont admis pour n équations, je choisis les équations (i) de telle sorte que l'on en connaisse a priori les solutions, et que ces solutions
0^11» ûtji, ..., a,,!,
soient distinctes (on pourra, par exemple, prendre les f égaux à des produits de facteurs linéaires).
DiflTérentions les équations (3), nous obtenons /inéquations de la forme
NOTES. aoi
et si Ton donne aux x des valeurs annulant les ^
Si l'on pose
^^ d^ ^' "■' Z7" ^^^»' *' -Ma^n),
D/ = D(ai/, Oî/, . . . , (ini)i A = Z di Al] Aïs • • • ^n/i»
A/ = A ( ai/, oj/, . . . , «„/),
les [jL/i^ équations analogues à (5) montrent que
(6) A/D/= g; (a,/)G;(a„). . . G;(a„/) = O Gf (ay/);
la fonction A est d'ailleurs de degré /1(jl — V^m*; si alors
on applique la formule de Lagrange à la fonction F A où F désigne un polynôme entier, on aura
V F - \^ GjGt . . .Gw A/F(ai/, 0»/, ...)
^ ( j^i — «1, ). . .(ar„ — art/)n Gy (ay/)'
u> désignant une somme de multiples de G| , Gs* • • • ou, en vertu de (6),
-j. , V^GjGî . . GnF(a,/, îj,, . . .)
Aà (r, — a,/).. .(ar„— 2«/)D/ OU
AF — eu ^ V^ F («!/•> «lit .'«)
G1G2 . ..G« ^ Aà (j-,-— «iiX^Tj — a,/)...D/
Si Ton égale les coefficients de dans les deux
membres après les avoir développés suivant les puissances de - » — , • • •> — t on voit que le coefficient de
X\ X\ Tn Xi â?s • • • ^n
dans
AF
G] Gs . . . Gyi
101 TRAITé D'AI/SÈBRR.
est la fonction symétrique 2*'^°"' *'{;.■-" '—• Or A
étant de degré /i jjl — \] /?ia, s» F est de degré moindre
que ^///A — '', c'est-à-dire de degré inférieur à celui de D,
on aura
F(ai^ «j/. • Lt.iiL'ii^ —
D/ Ce théorème est de Jacobi.
