I. — PRÉLOmiÂIBES

Éliminer j^i , x^, . . , x„ entre n 4- i équations, ce sera, pour nous, trouver la condition nécessaire et suffisante pour (^relies aient au moins une solution commune. Cette

condition est la résultanle. Si ^q{xi^ x*, '■/i) = o,

îpi = o, .... '^,, = o sont ces équations, la résultante sera évidemment Téqualion

dans laquelle a/,, a/2, . . ., a/„ sera une quelconque des solutions des é(|uations ;pi = o, cpa = o, . . . , ^;, = o.

Dans ce qui va suivre, j'admettrai que : 1" /« écjualions aljjébriques des degrés Wi, //i^, ..., lUn en x,, Xa, . . . , x,/ ont //Il //ij . . . tHn solutions ; o? qu'elles ont L. - Algèbic, IV. I

une résuhante du degré mi m^ • • • fn„, quand on élimine n — I quelconques des variables; 3^ que la résultante est de la forme

où A|, "kit • • •) ^/i désignent des polynômes entiers.

Je montrerai qu'en admettant ces hypothèses elles permettent d'établir que n -f- i équations des degrés w©, mi, m^, ...,m« à /i -f- 1 variables ont m^rrix . . . lUn solutions ; que leurs résultantes sont de degré rrii^mi . . . ni/t et sont de la forme

XoOo -f XiÇi 4-. . .-+- X,t^,i = o,

'fo» 'fi? • • • désignant jes premiers membres des équations et Xo, )hî ••• Jcs polynômes entiers. Comme nos hypothèses sont réalisées pour /ï = i, /? = '>., elles se trouveront pleinement justifiées.

.\vant d'aborder la démonstration de ce théorème, je crois devoir dire ce que j'entends par équations qui admettent des solutions distinctes et normales. Supposons

(|ue

soient satisfaites. Pour Xx ^^^ n^^ X2^^- a^, . . . , on a

ç/(^i, J7j, . . . ) = ç/(ai, a,, . . . j

-+- (a?, - a, ) -i| -:-...H.(a?„rt„)-li'.

Si ces équations admettent une autre solution «i 4-/i|, f/j -h /i-i, . . ., en remplaçant Xx, x^^ . . . par ces valeurs, on aura

ai, a2, . . . , a,| désignant des quantités comprises entre cix et fix -{' hx^ ff'2 et (1-2 -h à 2, .... On conclut de cette