CHAPITRE PREMIER

équation et de ses analogues

et, si Al, /ij, . . . tendent vers zf-ro,

(>(ai, as, . . ., a,t)

Dès lors, nous dirons que les équations cP|, ^2j •••> ^;2 ont leurs solutions distinctes et normales, si le déterminant

ne s'annule pas avec les f. Hàtons-nous de dire que ce déterminant peut être nul, sans pour cela quUI v ait de solutions confondues; néanmoins, supposer les solutions distinctes et normales, ce sera supposer ce déterminant différent de zéro.

n. — THÉORÈME DE JAGOBI.

Soient /i,/2j ' • "> fa des polynômes entiers en uTi, X2, . . ., Xn^ des degrés mi, Wo, . . ., nia respectivement et choisis de telle sorte que les équations

aient leurs //i| m.j . . • ffht = [x solutions

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finies, distinctes et normales. Soient X/y des polynômes multiplicateurs tels que

F,, F2, . . . , F;, désignant des polynômes de degré [x, dans lesquels nous supposerons les coefficients de jr'"*, a:^*, ... égaux à l'unité. Soit

A = — — A 11, Aji, . . . , À/i/i ;

A sera nul pour toutes les valeurs des x annulant les V sans annuler les f^ et, si l'on désigne par A, la valeur de A pour x^ = octi, Xx = a^/, . . . , en général A/ sera différent de zéro.

Si Ton diflerentic les équations (v.), on trouve des relalions de la forme

ô\ic\ à A An ]

en sorte que, si l'on fait x^ = ai,-, x.2 = «2/. . . . , on aura

\ J ) '^Al -j • • • — ''A/1 -. — - '. . . ^ , •

oxi Oxj [ o SI y ^ A

Si Ton pose alors

et si l'on appelle D/ la valeur de D pour ^1 = ai,-, X2 = «2/, . . . , la formule (3) montre que l'on aura

Soit maintenant G(^i, x-^^ . . . , .r„) un polynôme quelconque ; divisons G par F|. Soient Qi le quotient, Gj le reste; divisons G| par Fj. Soient Q2 le quotient, Go le reste, et ainsi de suite; nous aurons

(a) G = Q, Fi -i- QiF, -4-. . .-^ Q«F„ -h G,„

et Gfi sera de degré a — i au plus en x^^ de degré [x — i au plus en X2, La formule d'interpolation de Lagrange