CHAPITRE PREMIER

îniinilé de manières poser

g\', g'i^ . , .j gn désignant des polynômes entiers et x^y Xni ^hi 0L2j ..., OL,i, Si dans cette formule on

ÛC2

change x en ai/ et vice versa, x^ en aj/et v/ce versa, etc.,

on trouve

5"*» ^iî ... ne différant de gtj g^^ • • . que par la permutation simultanée de x^ et ai/, .... on en conclut

et il est clair que ^ ^^ jouira de la propriété que nous

avons attribuée à fl^j .

Posons alors

fin

fin

//Il

.//Il

• • J nn

Los fonctions $/ seront ce que nous appellerons les fonctions interpolaires relatives au système /"n/a,..., y*,,, pour une raison que l'on comprendra un peu plus loin :

I" ;/ ne change pas quand on permute à la fois Xi et a,/, Xi et aj/, . . . au numérateur.

'i" 5/ s'annule pour toutes les valeurs des j: qui annulent les /, excepté pour x^ = ai/, x-i = a2/, ...» valeurs pour lesquelles il se réduit à Puni lé.

En effet, en vertu de (7), la formule (8) pourra s'écrire

ii(xx — au) =

Jn J II • • • J nn I

Le second membre est donc nul avec les/; donc \i est nul avec les y, excepté pour x, = a,/, x^ = aj/, ... ; mais,

dans ce cas, /]lj= -.— > et Ç/ égal à un.

3® // n^ existe pas de relation linéaire et homogène à coefficients constants entre Ç|, Sa, . . ., \^. Car, s*Il pouvait exister (ine semblable relation

on en déduirait pour X\ = aj/, x-i = a^/, . . .

4^ On a

ai = o.

$I-t-$t f-...-i-$pi = I

En effet, en vertu du théorème de JacobI, l'expression

/il S \t • • ' f \n

J n 1 J ni • • • Jnn

se décompose en termes dont les coefficients sont nuls, à Texception du terme indépendant des a:, qui est de même degré que D/ par rapport aux a/y; XÇ est donc indépendant des jr, et, pour avoir sa valeur, il suffit par exemple de faire »r, = a, 1 , ^2 = ^2< » • • • pour voir ([u'il se réduit

a un.

5® Si ron désigne par f^ une fonction entière de X\ , ^2, . . ., x,t^ on pourra toujours la mettre sous la forme

< G) f(t= ^1/1-+- Xj/î-+-. . .-h X,|/,4-|-/oi5i -t-/oîÏ2-+-- • --^/oijlSii,