CHAPITRE PREMIER

Xi, Xa, . . . désignant des polynômes entiers^ et f^i désignant^ pour abréger, fo{^\i't «j/, . . .).

6" Si /o est de degré inférieur au plus petit des nombres //i, on aura seulement

ce qui justifie le nom de fonctions inlerpolaires donné aux 5, et si fo s'annule en même temps que les f, on aura

En effel, on a

fo—fi fil

A fii

jn fi 1

fU

car, en multipliant la deuxième colonne par x^ — aj/, la troisième par x^ — aa/, ... et en les retranchant de la première, celle-ci se trouve composée de zéros ; on en conclut, en divisant par D/,

(fo — foi )?/-H ^1/1 -T-. . .-r- X;, = o,

X|, ).2, .. . désignant des polynômes entiers. Si dans cette formule ou fait / = i, 2, . . ., |jl et si Ton ajoute en tenant compte de la relation (9), on a

fo =foi 5l -*-• • •-î"y 0{i5{i-r- ^^ifl -f-. . .-4- ^njn»

Pi, Pa, ..., P/, sont évidemment des polynômes entiers, et il est important d'évaluer leurs dejjrés. P, est de la forme

. /il

Jon f \n

fi fi

I n\ • • • J nn

lO TRAITE D ALGEBBE.

Le délerminanl placé sous le signe S est, en appelant mo le degré de/o par rapport à ai/, a2i, . . . ou à j;i, ^r^y . . .,

Le coefficient d'un terme en x^, a:^, ..., ^« de degré

V — h dans P^ est de degré h en ai/, a,/, Si donc

h'^^m — n — I, ce terme sera nul, en vertu du théorème de Jacobi ; le degré de P ne surpassera donc pas

il sera au plus égal à ce nombre ou à

En particulier, si le degré /Hq de /est inférieur au plus petit des nombres /7?|, tms, . . ., m,t^ on aura seulement

et si/o est nul en même temps que les/,

si en particulier mo = mi =. . .= m^, dans la formule précédente, )^o ^*2> • • •> '*« seront des constantes.

Remarque L — Gc théorème et ses conséquences supposent les solutions des équations (i) distinctes et normales, il ne faut pas l'oublier.

7° Le produit /fnf 02 . . • fo^ est de la forme

OU, si Von veut, la résultante des équations

/o = o, /", = o, . . . , fn = o est de la forme

Ao, A,» • • • désignant des polynômes entiers.