CHAPITRE PREMIER. Il

En effet, le polynôme

yoi yoi • • • yoiJL — ( -? — '" y '-...'— -=— \ j^J oi • • • /ofi

est nul pour toutes les valeurs des x annulant les/; en exprimant qu'il est de la forme Xi/i-f-. . .-h A«y«^ on a

yoi Joi • • • joy. = jojat • • • Jotx ( •> — *- . . . -^ -.— I

Remarque II. — Dans la formule (c), comme d'ailleurs dans (6), les polynômes X n'ont pas de valeur bien déterminée ; on pourrait les remplacer par une infinité d'autres, car on a évidemment l'identité

si l'on choisit les polynômes Oqj «i. ...,«,, ainsi :

et si les c/y satisfont aux relations

Ct'i = O, Cfj = — Cy|.

Les coefficients des Ç, au contraire, sont bien déterminés, car la formule (b) devant avoir lieu pour jTi =: a,|, ^2= «2/, . . . , on a forcémenl/oi pour coefficient de $/.

IT. — SUR LA rOHCnOH A.

La fonction A joue un rôle important dans la théorie des polynômes entiers, mais elle n'est, jusqu'à [)résent, définie qu'à des multiples des fonctions/ près; nous allons achever de la définir avec plus de précision, et nous po-

lu TRAITÉ D*ALGÉBRE.

serons

C'est sous cette forme que nous allons en étudier les propriétés.

1 ® La /onction A est de degré /i [x — S m.

En effet, la quantité placée sous le signe ^, dans la formule (lo), est une fonction enliiTe de degré n\L — n; le coefficient de a:"x§ •••''*« ^'^^^^ A est un poljnome entier, par rapport aux a/y de degré

/iji — n — (a -h p-»-...-f-X),

en vertu du théorème de Jacobi ; ce polynôme sera nul si

l'on a

n^i — n — (a-T- 3-...-f-X)j:SA7i — n ou

a -f- ^ -î- . . . -^ X ^ X /i jji — 2 m.

Donc A est, au plus, de degré /itx — Sm.

2" La /onction A est nulle pour les valeurs des x annulant les F, sans annuler les /.

«) 2 OUr JC \ ï^^ ^i/) «^2 -— - ^'2(t • • • ï

car, en vertu de la formule (lo), elle se réduit bien à cette quantité.

n résulte de là que la nouvelle fonction A est égale à l'ancienne, à des multiples des F prés, et même à des multiples des y prés.