I. ~ DÉnHITIOH DES FOHGTIOHS STMÉTRiaUES

Soient /i, /"a, ..., fu des polynômes entiers en jr,, ara, • • . . Jr,i, de degrés mj , /W2, • • • * '^'/i î

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les m\ m^. . . /^i/i = pi. solutions supposées Tmies, normales et distinctes des équations

(i) /i = o, ft'=^o, fn = 0.

On appelle fonctions symétriques des solutions de ces équations des fonctions qui ne changent pas de valeur, quand on permute les éléments de deux solutions, par exemple, quand on permute à la fois ai/ et aiy, a^i et a^y, etc.

Le théorème de Jacoki, qui a servi de base à la théorie de Télimination, peut être pris aussi comme point de départ de la théorie des fonctions symétriques; il montre, par exemple, que la fonction symétrique

l4 TRAITÉ D* ALGÈBRE.

est le coefficient de x^* x.^^ ... dans ^ (voir § II,

Chap. I).

Malheureusement, pour former celle fonction symétrique, il faut avoir formé les fonctions F et A. Il montre aussi que la fonclion ÏU^(a,/, a2i, • • • ) est le coefficient

de x^* x"* . . . dans le développement de ., - On voit

que Ton pourra calculer les fonctions symétriques de la forme S']^(ai/, a^/, . . . ).

IL — DEÏÏZIÈIIE EXEMPLE.

Soient 'i|, ^^^ • • • j '}{i des polynômes entiers et ^îj la valeur de *bi pour Xi = a/y, Xo^ a/y, .... Soit

Le produit ^'^A, A^ . . . A,a est symétrique; il s'annule pour a,| = 3^21, ail = aji, . . - ; donc il est divisible par le produit des différences ai/ — a/y et même par les autres produits analogues; et, comme il est symétrique, il est divisible par leur carré, en sorte que

n^^ViA,...A{j, = lIF'i(ai|V| IIF',(aîy) ... K,

K désignant un polynôme entier par rapport aux a/y. En vertu des propriétés de la fonction A, cette formule peut

s'écrire

^'» = D,D, ...njj^K,

et, si W^ est de degré [jl(2//i — n), il sera égal à D|D2...D,a, à un facteur près indépendant des /, ou plutôt des F. Si W^ est de degré inférieur à [JL(2m — /?), il est nul.

Supposons, par exemple, que '^i, '^a, ... soient les termes du produit