CHAPITRE II

au nombre de |jl. Le degré de W sera la somme des exposants des termes de ce produit, ou la valeur pour

Xt = X2 = ' ' -= i du polynôme — -— . . . -^ — G ou

Ox,

[i ntiinii — i) fji m^im* — i) m,

c'est-à-dire -(2m — n). Donc, dans ce cas, W^ est égal à DiDj . . . Djx, à un facteur près, indépendant des F.

m. — rORMATIOH DE LA BiSULTAITE.

Soit/o un polynôme entier, el ii , 'i-i, . . . , ij^ les lernios du produit

( I) ( I -^ j-i 4- x} H- . . . -h j^f''~0 . . . ( iH- -r„ -h x,i -+- . . . -h ^""^ ); faisons le produit des deux déterminants

4'ii/oi

4'ii/ot •-

. • ^ia/o|x

" IV i

'Wi/oi

'l'ii i).

Il est égal à ^'^ ITIF \}^* ouà/o,/o2.../o|i* à un facteur près indépendant des F : c'est le premier membre de la résultante de

D'autre part, il est égal à

l6 TRAITÉ d'algèbre.

En égalant ce déterminant à zéro, on obtiendra la résultante des équations (2). On voit que tous les termes de ce déterminant sont calculables par la méthode de Jacobi.

On a ainsi une première méthode pour la formation de la résultante, méthode impraticable, et qui exige la formation successive de la résultante d'un grand nombre d'équations, par des méthodes qui se compliquent de plus en plus. D'ailleurs, la méthode précédente repose sur une hypothèse : c'est que le déterminant

n'est pas nul. Il ne serait pas difficile de montrer qu'il ne l'est pas en général, en le calculant dans un cas particulier, mais les cas 011 il s'annule sont nombreux, et il est important de ne laisser planer aucun doute sur la possibilité de former la résultante dans tous les cas.

Nous allons donc présenter une nouvelle méthode qui nous permettra de former la résultante d'un nombre quelconque d'équations, d'une manière explicite, et d'en déduire une méthode pour le calcul de toutes les fonctions symétriques.