GOHGLÏÏSIOH

Nous avons admis qu^in svslème d*équations composé de n équations à n inconnues et de degrés /7ï|, /Wa, . . . , rrin avait un système de a = m, m^ . . . //î^ solutions, racines d^équations à une inconnue de la forme

nous en avons conclu qu'en général les équations (\) avaient une résultante de degré m^rtii , . . m„ en x^* A chaque racine de la résultante correspondra une solution de (4) et, par suite, les équations (4) auront m^m^. . , nia solutions^ d'ailleurs, la résultante est bien de la forme

Aq îpo -^ • • • -^ '»/! ?/l ="■ O*

On peul donc conclure de là que, sauf dans des cas exceptionnels :

// équations de déférés /?î| , m^, . . . , ni^ ont m^ m^*** ni„ solutions y puisque ce théorème est vrai pour /i = i et n =z 1.

Toutefois, nous avons admis que les équations

Çj =0, Çl =0 Ç/i — o

admettaient m^rn^ > > • m,i solutions, et, s'il n'en était pas ainsi, nos raisonnements ne seraient plus valables. Enfin, nous avons trouvé que H était au plus de degré ni^nix • • • f^hi' 11 convient donc de soumettre nos conclusions à une discussion : c'est ce que nous ferons après avoir achevé la lliéorie des fonctions symétriques.

¥n. — CALCUL DES FOHGTIOHS STMÉTRiaUES.

Nous appellerons /?o£V/5 d'une fonction des coefficients des équations

le degré de cette fonction, par rapport à Tq, paramètre

contenu dansyi,y2> •••>//*> ^^ *^' q"6y^i?y2j ••• conservent leurs degrés en ayant égard à ce paramètre.

Il est clair que le poids d'une fonction des coefficients ne changera pas, en supposant que Xq n'entre qu'en facteur dans chaque coefficient; et, par suite, v fois en •facteur dans un coefficient de poids v. Les éléments d'une solution sont de poids un et, par suite, si "^ est de degré ç, par rapport aux éléments des solutions^ et si o est une fonction rationnelle des coefficients des /, '^ sera de poids ç. Si donc une fonction symétrique telle que Sep/, par exemple, est fonction entière des coefficients des /, son poids sera égal à son degré, par rapport aux a/y.

Or, il est facile de prouver que toute fonction symétrique entière des solutions des y est entière, par rapport aux coefficients de ces fonctions. Soit, en effet, T un terme d'une semblable fonction syi^iélrique ; ï sera luimême symétrique, sinon la fonction contiendra les termes obtenus en permutant toutes les solutions dans T, et la somme des termes ainsi obtenus sera une fonction symétrique; il suffit de prouver qu'une fonction symétrique ainsi obtenue est entière, par rapport aux coefficients des/.

Soient îp, y, i, ... des polynômes entiers en x,,

CHAPITBE II. a3

Nous allons montrer comment on peut calculer en fonction entière des coefficients des/. On posera

(2) Zr^f^iyj^^^ ...,

et Ton aura

fit = O, fil =0, . . . , /ni = O,

en posanl/j4,= /ji(a,/, «2/, . . •) .... Si, entre (2) et (3), on élimine les a/y, on aura une équation en z dont les coefficients seront entiers, par rapport aux coefficients des/, et dont les racines seront les valeurs de la fonction ?' /> ^ff ' ' ' ' Si 8 est le degré de cette équation, le coefficient de z^~*y pris en signe contraire, divisé par le coefficient de 5^, donnera la valeur de lloiyj'Sfff ... ; donc évidemment, d'après la forme connue de la résultante, ^^iyj'^k ••• sera rationnelle, par rapport aux coefficients des/ Le coefficient de z^ sera évidemment indépendant de la forme de © (ce qui est évident à l'inspection de la forme que nous avons donnée à la résultante); il sera donc le même que si l'on avait pris ?/'/^" • • • = '> ^^ ^^ dépendra que des termes de poids zéro, ^^i'/j • •• î^^ra donc entière, par rapport aux coefficients dont le poids n'est pas nul.

Toute fonction symétrique rationnelle est le quotient

P de deux fonctions symétriques entières. En effet, soit j-

une fonction symétrique rationnelle, P et Q étant entiers,

p par rapport aux a/y. -^ est égal à un facteur numérique

entier près, égal à 51 rT' '^' désignant une des valeurs que

ai TRAITE D ALGEBRE.

prend P quand on y permute les a/y. Or, Xtt ^^t de la

forme ^r—rr ; le dénominateur ne change pas quand on

y permute les a/y. Il doit donc en être de même de V.

Puisque toute fonction symétrique rationnelle est le quotient de deux fonctions symétriques entières, elle s'exprimera rationnellement au moyen des coefficients des/.

vni. — RÉsoLunoN d'uh système D'ÉQUAHONS.

Reprenons le système

dont la résultante a été mise sous la forme

(5) e = i:iiiO,,e,î...o^jj, = o,

et que Ton peut également présenter sous la forme

R et B ne différant entre eux que par un facteur de poids nul, cpoi désignant la valeur que prend 'f o quand on y remplace x^, X2, ..., JTft par les éléments anuy ^211 •••? x,n d'une solution des équations

?i = o, <pj = o, ..., ç>« = o.

Soit c le coefficient de x^x\ . . . j:^Ji dans ^o> on aura

de «poi ** ** ooi ^' **

Supposons que x^^x^x-" soit et soit seule solution de cpj, = o, on aura simplement