CHAPITRE II. 1l
soit k le terme tout connu dans f q, on aura de même
dR R
âk ~ ©01
et, par suite,
âc ' âk -^ii^îi
On a ainsi le moyen de calculer les élémenls d'une solution commune quand elle est unique.
Lorsque les équations (4) ont deux solutions com-
âK 1.1
munes, Xt ^X2^ ... et Jr 12^22 • • • 7~ sont nuls et, il en esl
de même de toutes les quantités analogues ; mais, en différentiant une seconde fois (6), on a
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de même
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Si Ton suppose vT^ ^12 . . . et X2\ ^j2 . . . solutions coni munes, les termes représentés par des points disparaissent, et Ton a
â^R âH\ ^ ^
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On a alors la somme et le produit de x*, ... et x^^ . . . el par suite une équation du second degré dont x'^^ . . . et x*j seront racines et ainsi de suile.
Réciproquement, si tous les — sont nuls, il esl clair que
l6 TRAITÉ d'algèbre.
les équations (4) auront deux solutions différentes ou égales, etc.
Maintenant, il faut remarquer que, si tous les -r- sont
nuls, on a
^^ - V ^'^ rfc
et par suite R = o, ou 0 = 0 a une racine double; si toutes les dérivées secondes de R par rapport aux c sont
nulles, -— j est nul, R = o ou0 = oa une racine triple, etc.
On peut donc dire qu'à chacune des m^m\. ..nin solutions de 8 = 0, ne correspond qu'une solution des équations (4); donc, ce qui restait à prouver, les équations (4) ont nto m i .,. nin solutions au plus. Cependant, cette conclusion tomberait en défaut si R ou 0 étail nul quel que soit ûOq et alors les équations (4) auraient une infinité de solutions.
Il est bon d'observer que R ou 0 peuvent être identiquement nuls sans que les -p le soient, de sorte que à
chaque valeur de Xo correspondront des valeurs de x^, X'ij ..., Xa\ mais il peut arriver que certaines valeurs
de iCo annulent les -j-j et constituent, en quelque sorte, des
solutions singulières remarquables, en nombre fini, et isolées de la solution générale.
R et tous les -r— peuvent être nuls, la solution des équations (4) prend alors un caractère d'indétermination plus élevé, et des solutions singulières peuvent encore s'introduire, si, pour certaines valeurs de x^^ les dérivées secondes de R sont toutes nulles, etc.
