I. — PRÉLnmrAiBES

Soit F(Xi^ JC2', . Vfi) un poljnome de degré m en X|,

Xi, . . . , x,, ; sî Ton remplace x^ par — > X2 par — > • • • • et

si Ton multiplie par xj*, le poljnome F(j:<, Xa, ...) deviendra

et sera homogène; il est clair que Ton aura identiquement

le polynôme F( Xo, x^^ . . ., x,,) est ce que Ton appelle le polynôme F rendu homogène.

Eliminer Xi, 0*2, ..., jr^ entre les polynômes homogènes

c'est en définitive éliminer Xq, jC|, ..., x„, car, dans la résultante, il entre Xq en facteur que Ton peut supprimer, si Ton rejette la solution Xq = o.

Il importe d'observer que, de quelque manière ([ue l'on fasse l'élimination, la résultante reste toujours la môme

après la suppression du facteur en Xq, en Xi qui

provient de la variable non éliminée.

'aH traite D ALGEBRE.

En effet, pour faire rëlimination, résolvons les équations

Xi Xt

our solutions que l'on peut représenter par

et pour cela divisons par Xq, on aura pour — » — » • • • des

CLoi

et les porter dans /q^ ce qui donne, après l'évanouissement des dénominateurs,

OÙ les a/y ne sont déterminés qu'à un facteur commun près. Les mêmes équations (a) peuvent être résolues par

rapport à — ,—?»..-» et comme, en définitive, elles ne font

connaître que les rapports des inconnues, leurs solutions seront

et la résultante restera la même après Tévanouissement des nouveaux dénominateurs. Ces raisonnements supposent seulement qu'il n'y a pas de solutions nulles.

n. — CHANGEMENT DE VARIABLES.

Soient /oî /i ? •••?/// des polynômes homogènes en Tq, Xi, ^2, ..., Xn des degrés m^^ m,, ..., m,,. Considérons les équations

et posons

Yo yi y/î