CHAPITRE III
•j/i, •^2î •••j'î'/i désignant des pol)^nomes homogènes de degrés p en yo^yt, •••,JK/i; éliminons Xo, X|, ... entre (i) et (2), ce qui se fera en remplaçant œ^y Xi, ... par ^o> ^i« • • • dans (i); nous obtiendrons de nouvelles équations
où goi gij ••• seront des polynômes homogènes en jtq^ J^i» -mJ/i) des degrés /?mo, /?/«!, ,.., pnin.
Si l'on désigne par ao/, a,,-, . . . une solution de (1), en la mettant à la place de jto, J^^, ... dans (3), on aura
ce qui déterminera pour Vo? J'n •••? ou pour les rapports yo ' y\ ' y-i • --'yP" valeurs correspondantes; ces valeurs et leurs analogues seront les solutions des équations (3); si les équations (1) n'ont pas de solutions, (3) n'en auront pas non plus.
La résultante des équations (1) peut être mise sous la forme
celle des équations (3) sous la Ibrme
n^o(?oy, ?\j, ?//y) = o,
ou
"/ol^o(?oy, ?!/ ), •î'iOoy, ?iy, ...\ ...1 = 0.
Dans celte dernière formule, les valeurs des (i/y se décomposeront en groupes de p" solutions donuant les mêmes valeurs à -^o, ^1, ••-. valeurs proportionnelles à ao/, a,i, ... ; donc la résultante des é(|uations (3) contiendra le facteur IV'", R = o désignant la résultante de (i); ainsi, IV désignant le premier membre de la résultante de(3\
3o TRAITÉ d'ALGBBRE.
on aura
S désignant un facteur à déterminer. Or, les g s'annulent pour les valeurs des^,non toutes nulles, annulant les i^^ s'il y en a ; R' s^annulera donc quand le premier membre de la résultante T des équations
s^annulera; S d^ailleurs ne s'annulera que dans ce cas, en sorte que S sera une puissance q de T, et Ton aura
R' = Ra>" Ty.
Pour déterminer </, il sufiit d'évaluer le degré de
par rapport aux coefficients des •} ; il est évidemment np [jl, donc <jr = u.
Il résulte de là qu'e/i effectuant sur les variables une substitution linéaire, le premier membre de la résultante est multiplié par la puissance (jl du déterminant de cette substitution.
On peut rapprocher ce théorème, évident sur la forme que nous avons donnée de la résultante :
La résultante des équations
<lOO ^0 -:- «01 ®I H- . . • -- «0/1 f /l — - Oj
où les aij sont indépendants des x, est le produit de la résultante des équations Oq = o, ç^ = o, ... par la puissance [jl du déterminant 2 ± aoo a^ . . . a„„^ \x désignant le produit des degrés de ©oî ?«? . . ., ^p^,.
