CHAPITRE III. 3l

m. — THÉOBÊME SUR LES DÉTERMIirAlITS.

Considérons un système d^ équations homogènes en x^y X21 . . . , Xnj de même degré m^

/l = <>' ft=^ o /,„ = o.

U équation

admettra les mêmes solutions^ ainsi que

dx\ dXi ôxn,

En eflet, on a, par le théorème des fondions iiomo-

genes :

axi dXf,

On en conclut (et cela môme lorsque /i, /a, ... ne seraient pas de même degré) que, si f\^fxt • • •? fn sonl

nuls,

D'ailleurs, on aurait

ôxi Ox,

el, en difTéren liant par rapport à xj ouy ^ /, I dU dfx ù\) ùft dTi

m ôxj ' Oxj dfx dxj dl\

dxi dXi

^ d dï) ^ d d\)

Air -rrr-"/

^^J dtù ^^J d^-^

dxi dXi

or, la première ligne du second membre est nulle ; donc

I dh à M

m ôxj^' --'' ôxj ~ô£, ■'*••'

Oxi

et, par suite, — s'annule avec les y. c. q. f. d.

Ce théorème a été parfois utilisé pour écrire la résultante de trois équations homogènes du second degré.