CHAPITRE V

et, en supposant

-"--^J^lJi • • • J^ >"»

on aura évidemment

Ç|jL -- «{10 -^- «{11 r -^ • • • -^ «{ili-i 7^~* » a/y désignant une quantité indépendante des x. Quant à y, il pourra être égal, si Ton veut, à l'une des variables x. Il résulte de là que tout poljnome G pourra se mettre sous la forme

G ^= 6o -t- ^>, j- -T-. . . -i- b^-iyV--^,

puisqu^il peut se mettre sous la forme

G - GiÇi —. . .-^ Gjxjji.,

les Gi et les 6/ étant indépendants des x.

n. — RAGHIES DES ÉaUI?ALEHGES.

Considérons l'équivalence suivante, où F(X) est entier

en -^j Xij x^^ • • •

et dans laquelle il s'agit de déterminer X en fonction de ^Ti, ^2, • • • , Xn* Les valeurs de X satisfaisante cette équivalence sont ce que l'on peut appeler ses racines. Un premier sjslème de racines coïncidera évidemment avec les racines de l'équation

F(X) = o; mais il y en a d'autres, soit en effet

F(X) — «0-!- a|X -r-rtjX* -h.. .-I- ap\t'. Si l'on pose

notre équivalence prendra la forme

5i(aoH-aiXi -T-. . .-¥-apXP) -f-

$j(«o -+- «iXj -{-. . .-h apXP) -+-... ==0.

Je suppose que les coefficients a<, «2, • . ., s'ils coutiennent les ;r, aient été préalablement mis sous forme linéaire en ^i, Ça, . . ., en négligeant les multiples des/*; alors, dans la formule précédente, si Ton a

il s'opérera des réductions, et l'on aura (en vertu de

S,iy ^ O, i? = h)

ce qui exige que Ton ait séparément

?oi -^ ?iiXi -+-... -T- Ppi Xf = o,

Ces équations déterminent X|, X2, . . ., ^^^ et par. suite

chacune d'elles élant de degré/?, il y aura [x/> solutions en négligeant les multiples des/*; mais ce nombre [x/> est évidemment un maximum.

On voit qu'il y aura une infinité de solutions si l'on a

Po/ = 0, ?i^ = o, ... Pji/ = o.

Mais, pour que F(X) soit identiquement équivalent à o, c'est-à-dire quel que soit X, il faut que tous les p/y soient nuls, ou que tous les ai soient équivalents à zéro.

Désignons par Z| l'une des solutions de Téquivalence