I. - FBÉLiaiViI

[1 est difficile de donner une définition bien nette et bien précise de l'objet de l'Algèbre ; toutefois, on peut dire que la science des nombres comprend l'Arithmétique et l'Algèbre.

L'Arithmétique a pour but de trouver des nombres inconnus d'après leur mode de dépeodauce avec d'autres nombres donnés.

L'Algèbre, au contraire, a pour but c. de trouver le système d'opérations à faire sur des quantités données pour en déduire les valeurs des quantités que l'on cberchc-.. Le tableau de ces opérations... est ce que l'on appelle tme formule » (Lagkabgb, De ta résolution des équations numériques).

U - Jleitr,, 1. J

:h\PITHE PREHIBR.

F entra I

lies Hindm

. Le Livre de Bra)in

imegupta

est postérieur de deux siècles à celui de Diophanle, mais la perfection de son Ouvrage annonce certainement que l'Algèbre avait déjà une existence très-ancienne dans l'Inde. .. {Id.. p. 489.)

L'Algèbre des anciens difTéraît beaucoup de l'Algèbre moderne, dont l'origine remonle à Vièle, qui a le premier eu l'idée de représenter dans les calculs les nombres par des lettres.

n. -- DSS OIUHTITtS AlBÉBBiaUES.

En Algèbre comme en Arilboiéti^jne, nous ferons usage des signes -H et — pour exprimer <jue les nombres séparés par ces signes doivent être ajoutés ou retranchés

l'un de l'autre. Les nombre

qui,

! formule,

sont précédés d'aucun signe, ou qui sont précédés du signe +. sont appelés quantités positives ; ceux quî sont précédés du signe — sont appelés quantités négatives.

On considère souvent les quantités algébriques indépendamment des formules dans lesquelles elles doivent I entrer; mais, quand nous parlerons dorénavant d'une quantité ni^'gatïve, il faudra toujours sous-enlendre qu'elle fait partie d'une formule sans laquelle cette quantité n'ollrirait aucun sens net à l'esprit. Ainsi, par exemple, quand nous parlerons de la quantité — 4i nous devrons toujours nppoaer une formule, par exemple

dont — 4 fasse partie, sans qu'il soit cependant nécessaire

de préci

- la for

ule

■stion. On c

nçoit,

n effet,

que le signe — placé devant le chiffre 4 donne à ce chiffre certaines propriétés dont il jouira, quelle que soit la formule dans laquelle il se trouve écrit. Ce que nous venons

de dire du symbole — 4 pourrait se répéter de cet aut: -t-4> l*!^ l'o° "^ saurait concevoir que comme faisa partie d'une formule existante.

On.

ïUe valent

absolut

L quelquefois aussi modu d'une quantité positive ou négative le nombre précédé c signe -t- ou — qui entre dans cette quantité.

On dit que deux quantités sont égales lorsque leu valeurs absolues sont égales et que leurs signes sont 1 mêmes; cette égalité algébrique s'exprime à l'aide c signe ^=, qui n'amène aucune confusion si nous convi nons de regarder comme précédées du signe + les quai lilés arithmétiques qui n'ont pas de signe.

On convient de regarder les quantités négatives cumn plus petites que zéro, et d'autaJit plus petites que leur v leur absolue est plus grande, et l'on conserve les signes < ]> de l'Arithmétique pour exprimer qu'une quantité pos tive ou négative est plus petite ou plus grande qu'ui autre.

Ces conventions n'ont d'autre but que de simplifier langage et d'éviter de longues périphrases; on Unit p: s'y accoutumer, et l'on y trouve souvent le grand avanta^ de comprendre dans un seul énoncé plusieurs propositioi qui sans cela nécessiteraient autant d'énoncés distincts.

ADOmOH.

L'addition algébrique est une opération qui a poi but de faire la somme algébrique de deux ou plusieu quantités.

Ou appelle somme algébrique de deux quantités t même signe la somme de leurs valeurs absolues précéda du signe commun ; la somme algébrique de deux quantité de signes contraires est la différence de leurs valeurs absc lues précédée du signe de la plus giande.

CIUPITRE PSEUIEn. 5

Ai'dsï la somme de — 4 ^t — 5 est— g, la somme de

— 4 el -t- 5 eal -(- i , celle de H- 4 et — tJ est — a.

La somme de plusieurs quantités telles que — i, -f- a,

— 4i + 7 est 1"^ résultat obtenu en ajoutant la première ei la necODde, puis la troisième à la somme des deux premières,

s la quatrième à la somme des trois

prei

lières, etc.

Pour indiquer que plusieurs quantités doivent être ajoutées, on fait usage du si^ne + : ainsi

représente le résultat obtenu en ajoutant — aà — 4et4- 5 à la somme ainsi obtenue. Le plus souvent, on se contente d'écrire les quantités les unes à la suite des autres sans changer les signes; ainsi

est équivalent à

Le symbole 3 + 6 — 4 ^- ' — 2, qui en Arithmétique représente une suite de sommes et de différences, et en Algèbre une somme, conduit dans les deux sciences au même résultat lorsqu'il est arithmétiquement possible, ce qui est très -avantageux au point de vue des applications.

Quelquefois on désigne une quantité positive on négative telle que — 4 P^"" ""^ seule lettre a. Pour exprimer que plusieurs quantités a, b, c, ... doivent être ajoutées, on les sépare les unes des autres par le signe •+-, ainsi : a-i-b-hc-i- ... {').

Lemme I. — Soit N u

m/ire plus grand que hf

(>] On pourrt k una première tuinnlcs, M admettre le théorème I Mni dimonilnti

lecture pour 1«i lemtnM el ramarqnM