I. — PBmCIPES fitirtBAUZ

U)K4^ue, daDS une égalité, les deux uieaibres sonl égaux, fidWt *foe soient les valeurs attribuées aux lettres, cette Iplilé porte le nom d'identité; telles sout, par e&ctuple, béplités

i^a --^ 6 ita — 6)= a'— 6',

Ixrtqae, au contraire, l'égalité n'a lieu que pour cer- Wms valeurs des lettres qu'il s'agit de déterminer, elle ftnc le nom inéquation ; les valeurs positives ou négH- )>*et d«s lettres qui rendent les deux membres réellement ipaxporlenl le nom de racines de l'équation. Quoi qu'il M io«t, on confond souvent dans le langage les mots égabt, équation; au fond, cela n'a pas grand inconvénieDt.

TictoxÈMK I. — On ne change pas les racines d'une éjaaiion en ajoutant une même quantité aux deux memtbrrM.

Ea «(TcL, considérons l'équation

Âoieni jr, y, s, . . . les inconnues, ou, sî l'on veut, les hurcii dont on doit déterminer les valeurs pour rendre A inllement ég»^ ^ B; il est bien évident que les systèmes

76 TuArTÉ DALGÉnnE.

de valeurs de a:, ^, ^, . . . , qui rendent A égal à B, ren^ dront encore A -H m égal à B -I- m ; que réciproquemenl les s^slèmes de valeurs qui rendent A + m égal àli ~\- m; rendront encore A égal à B : en d'autres termes, l'équation considérée a mêmes racines que

Cette règle comporte une exception : si la quantité m cessait d'être définie algébriquement pour des valeurs de :r, y, S, ... qui rendent A égal à B, l'équation (2) pourrait ne plus admettre les racines de l'cquation (1).

CoROLLAiBB. — Le signe de m ajant été supposé quelconque, on peut dire que l'on ne change pas les racines d'une équation en retranchant une même quantité aux deux membres.

TaÉoH ci/uation

— On n'allère pas les racines d'une uttipliant ses deux membres par une

même quantité ne contenant pas les inconnues.

En effet, considérons l'équation

si l'on multiplie par ni les deux membres de celte équation, il est bien clair que, si pour un système quelconque de valeurs des inconnues on a A=B, on aura encore Am^^Bm; et réciproquement, si l'on a Am=^Bm, on aura pour les mêmes valeurs des inconnues A=:; B. Il y a cependant un cas d'exception : si, en eflet, A était différent de B, on pourrait avoir Km égal à Bm si m pouvait passer par zéro; or il n'y aura rien à craindre â cet égard si m ne contient pas les inconnues et si l'on ne choisit pas le facteur m égal à zéro, ce qui n'aurait aucun but raisonnable.

lUPiTim «

Nons allons monlrer sur un esemple que, en multipliant ppar tm même facteur les dotix membres d'une ^qiiotîon, un tpeut introduire de nouvelles racines. L'éqiinlion

aduiel évidemmentia racine i et la racine i seulement, lin r multipliant parx — 2 les deux membres, on a

il est facile de voir que la nouvelle équation admet la tracinc jr = 2 ; cela tient à ce que le facteur x — a passe ipar zéro pour :r = 2. En général, quand on multiplie par Im les deux membres d'une équation, on introduit dans Icelte équation les solutions de l'équation m = o.

Ea elTet, les systèmes de valeurs des inconnues x, y, ., qui rendent \m égal à Bm, rendront A égal à 6 rou m égal fk zéro; donc ils appartiennent à l'une des deux i équations I A ^ B, m =0.

I Si cependant, en supposant m =^ o, A et B cessaient d'être ~ «IgébriquemenL définis, il est clair que Am = Bwi n'eu- I irainerait pas m = o, car on ne pourrait pas dire que Am I et hm sont nuls si A et B n'existaient pas. Pour me l'aire [Comprendre, je choisis un exemple : l'équation

L admet la racine j; := 1 et n'admet évidemment que celle- I U, puisque pour x^i on a ->i- Multiplions par x les I deux membres de cette équation, nous n'introduisons pas I pour cela la racine x ^ o, parce que - n'existe plus, en I un mot n'est plus défini en supposant le diviseur x égal à

, ei elTecliveiiient l'équ;

uesLioD devient

quand on muUiplie par x ses deux membres.

De même l'équation A=^ B pourrait être satisfaite pour certaines valeurs de x, j', 2, ■ - - , sans que

le fût pour les mêmes valeurs de x,y, .... car m pourrait n'être plus défini pour les valeurs de x, y, z. . . ■ , qui rendent A égal à B.

En résumé, quand on multiplie les deux membres d'une équaiioD par une même quantité, on ne change pas les racines si cette quantité est indépendante des inconnues; si, au contraire, le multiplicateur en question contient les inconnues, il peut se faire que l'on change les racines, ' que l'on en introduise de nouvelles, ou enfin que l'on en supprime. .

Théouême III. — On peut diviser par une même quantité les deux membres d'une équation sans changer les racines, pourvu que cette quantité ne contienne pas les inconnues.

Ce théorème, au fond, revient au précédent et donne , lieu aux mêmes remarques, si l'on observe que multiplier , par — et diviser par m sont deux opérations équivalentes.

Tbéoeèhe IV, — Lorsque deux équations admettent les mêmes racines, l'équation que l'on obtient en les . ajoutant ou en les retranchant membre à membre peut remplacer l'une quelconque d'entre elles.

En eflet, considérons les deux équations en x, y, s, . . .

A = B, 0 = Di

i systèmes de valeurs de x. v, ;,..., qui rendent k la I fois A égal à B et C égal à D, rendent A -h C fg»i à B + D, l«t récîproquemenl les sjslèmes qui satisfont à l'i^quatioD

[3) A-kC = B + D

t i l'ane quelconque des équations (i) ou (a) satisfont à I^Fàutre.

Remarques. — On peut évidemment aussi remplacer m système de n équations par n — i d'entre elles, et celle lijae l'on obtient par l'addilion des autres effectuée membre I i membre; il est bien évident aussi que la dilTérencc effectuée membre â membre de deux équations peut remplacer l'une quelconque d'entre elles, etc.

Les iransfoimations que nous venons d'indiquer auf- 1 6sent à l'objet que nous avons présentement eu vue; L l'usage en fera connaitrc d'aulrcs, soumîmes, en général, I aux mêmes restrictions que celles dont nous venons de f parler.

a — Dues DES PBDTCIFES FRËCËDERTS.

Résoudre une équation ou un s^stîinn,' d'éijualions, |(C'est cbercher leurs racines.

Lorsqu'une équation est de la forme

FP et Q désignant des polynômes entiers de degré m par ■ rapport aux inconnues, on dit qu'elle est du ditgri m. [Lorsque l'un des polynômes P, Q est de degré intérieur Pi m, l'autre restant du degré m, on dit encore que l'équa- Btion est du degré m.

Pour résoudre une équation ou un système d'équatiuo*,

80 TRAITE D ALGEBflE.

on commence, en général, par effectuer les opérations indiquées : on ramène de celle façon les deux membres à être aussi simples que possible ; on chasse ensuite les dénominateurs, ce qui se fait en multipliant les deux membres de chaque équation par le produit des dénominateurs qui enlrcnt duns ses deux membres.

Il peut se fairi; alasi que l'on altère les racines : il faudra discuter les résultais, afin d'étudier l'effet produit Gur le système que l'on cherche à résoudre. On fait en- , suite passer les termes qui contiennent les inconnues dans un même membre et les lermes indépendants des inconnues dans l'autre; on fait passer un terme d'un membre d'une opéralion dans un autre en changeant son signe. Celle opéralion revient, eu efTet, à relrancher aux deux membres de l'équation une même quantité égale au terme en question; enfin, s'il y a lieu, on réduit les termes semblables.

La règle que nous venons de donner est une règle générale et qui, bien entendu, n'a rien d'absolu. Nous avons dit que pour chasser les dénominateurs d'une équalion il fallait multiplier les deux membres par le produit des dénominateurs; il suflii d'en multiplier les deux membres par le plus petit multiple des dénominateurs, dans lesquels chaque lettre sera considérée comme représentant un facteur premier.

Quelquefois on conserve à dessein dans une équation certains dénominateurs, mais on peut en faire disparaître d'autres. Pour faire disparaître un dénominateur, il suffit évidemment de multiplier les deux membres de l'équation par ce dénominateur, ce qui se fait en multipliant par le dénominateur en question tous les termes qui ne le contiennent pas et en l'effaçant dans les termes qui le contiennent.

Pour donner une application des principes précédents,