L. — jiIgHrt, I
Ba
TIHITK D'ALOÉnaB.
nous
ne retrouvons pas la solution ,r =^ ^ r
on
dut
que.r = -
-~ satisfait seul à IVquation
pro
losée, ce
que
'on peuLd
j reste vérifier directement.
us allons
voir maintenant comment o
] si
nplifie, à
l'aide d'arlilïces
de calcul, la règle générale q<
e nous avons
donn
ée. Proposons-nous de résoudre l'équalion
1 y a égalité entre les deux membres <i
e cette équa-
lion
pour une
certaine valeur de x, nous
poi
rrons de
chaq
ue numéra
teur retrancher son dénoniin
teu
■, diviser
les numéraleui
s par les résultats, et îl y
aura encore
; ainsi
é pour la
même valeur de x (voir p.
Sa)
Il vient
ei.en inulliplia
[)t par 4 les deux membres de
e.'galité,
aar-i- -j ^ r+ ;.
Fais
ns passer
es termes en x dans le prcn
ier
membre,
les Le
rmes conn
us dans te second, il vient a,i.-2- = 7-a ou x = 5,
ce qi
'il est faci
e de vérifier.
. - DES ÉaniTlONS DD PBIHIEB DEGBÉ A DHE IHGOHHUE.
Te
ute équali
on du premier degré à une incoi
nue peut
filre
amenée à
a forme
(iJ
AetDétant deux quantités indépendantes dex; pour cela il tuffit de faire passer dans le premier membre les (ermcs ifui conlîcuocnl l'inconnue, et dans le second cotw r|ui ne bconlienneat pas.
On résout imniédiatcment l'éqtiaiion (i) en divisant les Atitx mciubres par A, ce qui donne
tll'iifualïon (i) n*a pas d'autre solution.
On peut donc dire que toute cqualion du premier degré à itné inconnue a toujours une sùlution et une seule.
Si B éuil ^-gal à Kt-ro, il est cluîr que l'on aurait .r = o Quelques auteurs examinent le cas oii A =^ o, mais alors dans l'équation, x n'existe plus, l'équalîon n'est plus d premier degré ; elle se réduit à une égalité absurde o ^^ D oa a une ideotiliî si Pou a n = o. On peut ëtie condui i ie semblables rL-5ultats en clierchant à résoudre certaines ^nations absurdes ou certaines identités que l'on p< cofBme équations.
pir exemple, quel que soit x, nous avons vu qi:e I mit
11 II tu comme
lî Fun regarde actuellement cette ^^valion, on trouve
jç faisant passer les termes inconnus dans le prcmie ■rctniirtf 1^^ termes connus dans le second,
si une tdentiti^. Cela tient Ji ce que l'on
SJ TnviT» d'algkuhr.
d'une identité, ou, si l'on vent, d'une équation s
quel que soit x; si, au conlraire, on avait posé
on aurait trouvé
résultat absurde et qui prouve que l'équation (2) n'a pas de racines. Et, en effet, comme (:c + i)* est égal à x^i + aa: -t- 1 , il est impossible qu'il soil égal k x^ -f- ij:, c'est-à-dire au même nombre diminué de 1.
Si l'on écarte donc le cas où A = o, c'est-à-dire où la formule (1) n'est pas une équation, on peut dire que loule équation du premier degré à une inconnue admet une racine et une seule ( ' ).
IT. — DES ÉaiTATIOSS DV PBEHIER DEGRÉ A PLQSIEnBS
nicoHirccs.
Une seule équation à plusieurs inconnues suflll très rarement à la détermination de ces inconnues. En effet, si l'on donne à toutes les inconnues, sauf une, des valeurs arbitraires, on peut en général résoudre, par rapport à l'inconnue restante, l'équation en question, ce qui montre que l'on peut ainsi trouver autant de solutions que l'on veut.
Bien qu'il n'en soit pas toujours ainsi, nous verrons qu'un système de n équalious du premier degré à n inconnues admet ordinairement une solution et une seule.
nsiJér
a forn
plui grande! au Tiir et ï mesure qus A devient ptui jjctit; de lurle qa'k U limite, quand A devient nul, z ■ pri* une valeur limite déjiaasanl loul nombre donné; elle est devenue injtiiît. Avec cette conveulion l'enoncd ne coiajwrlera pai de reïtrictioo.
cDAPiTnn V.
ToDlrs les Tois qn'il n'en admet pas, on dit que le système tsl incompatible ; toutes les fois qu'il en admet plus iTniie, on dît qu'il est indéterminé.
JIK|U
in svstème de n équBlioDS à n inconnues admet ordiRairement une solution, un sjstéme de n — i équalion», ou moins, à n inconnues, doit être insufTisant, ^^ue l'on peut choisir au moins une inconnue arbitrai- TciiKat. et qu'il reste alors assez d'équations pour trouver le» râleurs des inconnues restantes.
De m^me, un svslème de n + i équations, ou plus, à n inmnnues, ne peut pas en général être résolu, car, n quelcuti<|ues d'entre elles admettant une solution et une seule, ttXXr solution ne conviendra pas toujours à un autre (VMême fartné de n des équations données.
Lorsqu'un système d'équations du premier degré admet d«a\ solutions, il en admet un nombre illimité, et c'est te qui tait dire qu'il est indéterminé.
Ea effet, considérons le système
ol X, y, X, . - - sont « inconnues et où di&ieaent des quantités connues. Soient
n premier système de solutions,
latecond système de solutions; on aura o,«' + fî,j5'-i- -. . =4,;
les autres lettres
8G TflAFTB ri'AI.GKIinE.
soientu cl p'deus nombres lels, quefx + fi'=:^ i; mullîplio la première de ces formules par fi, la seconde par fi', ajoulons; nous aurons
Onv
L que
«ft + a>', iS.rx + PV, . ..
constituera une nouvelle solution, et, comme fi est arbi~ traire, on voit que le nombre des solutions du système est illimité.
Eliminer une inconnue entre plusieurs équations, c'est remplacer ces équations par d'autres qui ne contiennent plus celle inconnue, et qui cependant admettent les mêmes solutions pour les inconnues restantes. Nous allons exposer diverses méthodes d'élimination.
1° Elimination par subslitulion. — L'élimination par substitution consiste à résoudre l'une des équations par rapport à l'une des inconnues et à porter la valeur trouvée dans les autres équations, qui alors ne contiennent plus celle inconnue. Voici un exemple de celte métliode. Considérons les équations
Tirons de (i) la valeur de -r, en supposant i connu; il
et l'équation (3), en vertu des principes exposés fp. 73^, peut remplacer l'équation {1). Si alors on remplace .r par
— ^ — dans l'équation (2), on trouve une équation qui
CniPITBB V. 87
^ ne (^onlient plus y et qui peut remplacer rë<)u»tion (a) ou rëqaation (3). c'esl-à-dire l'équatton (1). Eu cDTel, remplacer x dans l'équaliou (1) par sa valeur lirie de l'équation (3) revicnl à écrire l'équalion (3) li'uboni sous la forme
puis à miilriplier pur 12 ses Jeux meiiilircs cl 1^ la rotranclier de iV-quation (s). La raélhodc de substitulion n'altère donc pas les racines el peut élrc employée dans , lous les cas ; le calcul s'achève facilement et l'ùqualion ( a ) devient, après la mbs/itittton de la valeur de x tirée de l'équation {i),
Ij/i n5-8r
IW) '3 — 3 7^ = 2»;
r d'où l'on tire, en résolvant celle ëqualîon ii udo incour: I par rapport à y,
L'équation (5), qui admet les mêmes racines que l't^quation(4}< peut remplacer les équations (i) ou {a); si aliirs on porte la valeur obtenue pour j- dans l'une de ces équations, on élimine j et l'on trouve une équation à une inconnue en x qui permet de calculer la valeur de cette inconnue. Si l'on fail^= 3 dans l'équation (i}, on trouve
3 j + iG — a5, j := 3.
RKHAnQDB. — La méthode que nous venons d*cmplovor s'applique k un nombre quelconque dY-(|uatii)ns et réduit t igrst^me total des équations à un nombre moindre d'une é et ayant une inconnue de moins. On peut alors pror le nouveau sysléue comme sur le premier et faire
88 TnirrÉ d algebrb.
disparaître une inconnue et une équation; on arrive alors fiiialemenl à une seule équation contenant une seule inconnue, si le nombre des équations est égal à celui des inconnues, et l'on peut en tirer la valeur de celle inconnue. Si le nombre des équations est supérieur à celui des inconnues, on a plusieurs équations contenant une même inconnue; ces équations ne fournissent pas en général la même valeur pour cette inconnue, et l'on conçoit que le système d'équations est surabondant. Si au contraire le nombre des inconnues est supérieur à celui des équations, on tombe sur une équation â plusieurs inconnues, et l'on voit que l'on peut choisir arbitrairement l'une d'elles : le système a une infinilé de solutions.
Ce raisonnement est très-vague, en ce sens qu'il suppose que les équations à une inconnue que l'on est censé résoudre ont une solution bien déterminée; aussi verronsnous les conclusions précédentes, qui tendent à établir qu'un système de n équations doit contenir n inconnues, tomber en défaut.
a** Elimination par addition. — Celte méthode consiste à multiplier par des facteurs convenables deux des équations à résoudre, de telle sorte que les coefficients de la même inconnue soient égaux. S'ils sont de même signe, on retranche les équations membre à membre; s'ils sont de signes contraires, on ajoute ces équations, et l'on fait ainsi évidemment disparaître une inconnue. L'équation à laquelle on arrive peut, en vertu des principes démontrés plus haut (p. yS), remplacer l'une quelconque des équations qui lui ont donné naissance.
Reprenons les équations considérées (oui ù l'heure
Pour donner des valeurs égales aux coeflicients de x, on
