CHAPITRE V
peut multiplier la première équation par le cocfTicient de X dans la seconde, et vice versa; mais il est plus simple de multiplier par 4 l^s deux membres de l'équation (i); en retranchant alors membre à membre, on trouve
3® Elimination par comparaison. — Cette méthode, peu usitée, revient au fond à la précédente; elle consiste à égaler les valeurs d'une même inconnue tirée de deux équations différentes.
4" Élimination paf la méthode des multiplicateurs. — Cette méthode, attribuée à Bezout, consiste à multiplier les équations par des facteurs tels, qu'en les ajoutant toutes les inconnues disparaissent à Texception d'une seule.
Considérons d'abord les équations
{i\ ax -*- bjr —c,
[1] a'x -+- b'jrz=:d.
Multiplions la seconde équation par X, ajoutons avec la première, il vient
a -ha'Xjjr-h [b -h b'\]j=zC'^ c'\.
Déterminons maintenant \ par la condition
a -\- n'\ -^- o^ d'où
Féquatiou (3)
devient
ab\
ad
d*où
l'on tire
90 TIIAITÉ D'ALGàBRB.
En posant dans l'équation (3)
b -h 5'}. = o ou \ = — — ,
on aurait trouvé
__ ch' hc' '''^ Ob''- Û
Considérons en second lieu les équations
(l) ax -\- hy -+- CZ rrr rf,
['>.) a! X -f b' y -f- c'z nz d\
(3) a'*x-\-b"y-\c''z — dr
Multiplions la seconde par le facteur indclcrminé X, la troisième par )/, et ajoutons; il vient
Profilons de rindéterminalion de X et )/ et posons (5) b->ry\-\-b"M =0,
(6) C-f-c'X -^c"V^zO.
Multiplions Téquation (6) par jui et ajoutons avec l'équation (5); il vient
Posons enfin
Il Ê f*'
O -hC ti=:0 ou f* = ; ;
l'équation (7) donne
d'où
Lf f h' ^
^, cb'-^bc'
Sî Ton se reporte aux équations 5^ cl (6\ on voîl que» pour en déduire /. ~uand on connail W il sullil do cliangor« dans la formule qui donne X', h' en A', M on h\ c on v* ei (f en c\ car, quand on opère ce changomonl dans le* équations 3 et ^6 . il est bien clair que la valeur do V qui satisfait est Tancienne valeur do À, et vic^ vct\Uf. l)n a donc
Si Ton porte alors dans Téquation (4) les valeurs quo nous venons de trouver pour i et À', il vient, en vorl» dos équations ; 4) et (5),
/ ^ cb' - bc" , cb' - br \
d'où Ton tire, en ordonnant par rapport aux aooonls»
^ dh'c' — de' b" -4- CiTb" — bd'c' -\ cb'(r - b ',r ^ ~ ^r^^^ ne' b"~-^ T^i" -- Va' v" -4 cb' a" hc </ ' '
Pour déduire de cette formule la valeur de j, il suflil do changer a en i, h en c et c en a. Kn effet, par ce rhaiif^cment, les équations (i), (a), (3) fourniront pour > la valeur qu'elles fournissaient avant pourx, et pour 5 la valeur qu'elles fournissaient pour j. Enfin on pourrait aussi se contenter de changer a an b ci b en a.
Ce qui est remarquable, c'est que par ces chan);onirnt!t le dénominateur de la valeur de x ne change pas, en sorte que les trois inconnues ont le mémo dénominateur. Le numérateur d'une inconnue ne difTére du dénominairur que par le changement en d de la lettre qui sert de rcM'Hicient à cette inconnue dans les équations (i), (a), (3); nous généraliserons plus loin ces résultats.
ga TRAITE n \LCEDnE.
T. — Discnssion des us qui feifveiit se pbésebtib dus
LÀ BÉSOtOTIOH D'un 818TÊHE DE DEDI ÉQUATIONS A DEUI
I ncoHiniES.
Reprenons les cqualions dont il a déjà été question,
(a) »',+ JV = e'.
Ces équations renferinent toutes les équations numériques à deux inconnues et du premier degré que l'on pourrait se proposer de résoudre ; il sullit pour cela d'attribuer à a, b, a\ b', c el c* des valeurs convenables, nulles au besoin.
Multiplions par b' la première équation et par b la seconde ; eu retranchant alors membre à membre, il vient (3) (nfi' — ia')x==c//'— ic'.
Jusqu'ici nous avons implicilemenl supposé que b et b' n'étaient pas nuls à la fois ; sans quoi nous aurions (ail une opération illusoire conduisant à l'identité
Nous allons supposer ni' — ia' différent de zéro, et alors l'équation (3) donnera
On trouverait de même, en supposant que a et a' ne sont pas nuls à la fois,
Ces formules montrent que, si ahf — ia' est dilTérent de
icn», le syslème de» équations (i) et (al admet toujours ui« solution el une seule ; caries hj'polhèses que nous »ons raïtcs, que a et a* ne sont pas nuls fi la fois ou que b cl&'ne son» pas nuls à la fois, rentrent Hann c.pWp.-i-î
ab' — ba ? o.
Sopposons actuelle I
tt loates les quanti t4^s a, a', h, b/, c, c' dîfl'érenles de zéro; linrs les valeurs de ;r et Aey se présentent en général sous iilortne
Sl'on remODLe à l'équation (3), qui a fourni celle va- Inr de jt. on voit que cette équation se réduit à une ab- Mniîté, puisque son premier membre est nul el que le Mcnndne l'est pas en général. Les équations (i) el (a). Induisant par <]es calculs légitimes à une absurdité, sont ■oMiip^liblcs ; c*esi du reste ce qu'il est facile d'établir irrctrmenl.
I* \uu9 supposerons le numérateur de la valeur de x,
ct)l-A-dire le second membre de la formule [3), diffèrent
^léro; nous aurons alors
cb'—be'>r,.
ïii* de la formule (6j on tire
