II. foitt.ule
g{ TRAITE d'algèbre.
et, par conséquent, de ces deux dernières formules,
(lO)
ou
ac — ca '^o.
Cette quantité est précisément le numérateur de la valeur dej', qui va se présenter aussi sous la forme — • Si Ton désigne alors par /> la valeur commune des rapports -?> p» on tirera de la formule (8)
az=pa\ b = pb\
et de la formule (y)
c^pc .
En portant dans Téquation (i) les valeurs que nous venons de trouver pour a et h, on trouve
pa .r -^pb y = Cppc .
Mais réqualîon (2) multipliée par/; donne
pa .r -+- pb' y =: pc ,
On voit donc que les équations (i) et (2) impliquent des conditions contradictoires, puisqu'elles exigent que la même quantité soit à la fois égale et inégale à pc\
2° Il pourrait arriver que le numérateur de la valeur de X fût égal à zéro; Téquation (3) ne présenterait plus rien d'absurde; au contraire, elle se réduirait à Tidentité
La valeur de x prend la forme --; il est facile de voir que dans ce cas les équations (i) et (2) rentrent Tune dans
GUAPITRE V. g5
Tau Ire el que les valeurs de a: et de y sont indéterminées; nous supposerons toujours les coefficients a, i, c, a\ h\ c ditlérents de zéro, et la relation
ô al) — bd z=z o
f >urnîra comme plus haut
Si nous supposons actuellement le numérateur de la valeur de jc nul, ou
II cb' — bc = o,
il vient
Il -7 = r7;
el, en vertu de Téquation (8),
a ou bien
ac — ca z= o,
el l'on voit que le numérateur de la valeur dey est cgaîtment nul. Si Ton désigne par p la valeur commune dos
ri|jporls — 7» p> -/> les équations (i i) et (12) donnenl
a^^pa , b z:= pb\ c-=-pc,
^i Ton porte ces valeurs de «, i, c dans Téquation (i), on
trouve
pd X -h pb' y ■=! pc\
éqnation que Ton déduit en multipliant par p Téquaiioii ' 2). On voit qu'en réalité on n'a qu'une seule équa-
g6 TriuiK d'alcébhb.
lion entre X et y, ce qui esl insufïisant pour délerminer
ces inconnues, puisque alors on peut choisir l'une d'elles
arbitrairement.
il reste maintenant à examiner les cas où quelques coeflicients des équations (i) et (a) seraient nuls; mais, auparavant, observons que les formules (4) et (3), qui font connaître x ety, satisfont aux équations (i) el (a) toutes les fois que al/ — £a' n'est pas nul. Nous supposerons donc
i" Si aucun des coefficients u, A, a', h' n'est nul, on lire de cette équation, comme nous avons vu plus haut,
el, si c seul esl nul, on voit que les équations (i) el (a) sont incompatibles, et les inconnues se présentent sous la
forme — Si c et c* sont nuls tous deux, les équations (i) et (a) rentrent l'une dans l'autre, et les inconnues se présentent sous la forme -
2° Supposons a = o; alors l'équation (6) montre que a' ou £ doit être nul; sï e/ est nul, on n'a plus, à proprement parler, deux inconnues dans les équations (i) et (a), qui ne peuvent déterminer x et qui sont surabondantes pour délerminer y, à moins que ces deux équations ne soient une conséquence l'une de l'autre. Dans ce cas, les formules [4] et (5) donnent des résultats de la forme
Dans le cas où cl/ — £c'= o, x se présente aussi sous la forme — Cependant, dans ce cas, la valeur de y est par-
