X. — SIS SOLVTIOHS D£ LA FOaB!E

Uappelons que l'on appelle limite d'une quantité variable une quantilé fixe dont celte quantité variable peut s'approcber indéfiniment, e'est-à-dire de telle sorte que la dill'érence entre ces deux quantités puisse être prise moindre en valeur absolue que toute quantité donnée.

On dit qu'une quantité variable est infinie quand on a l'i.itention de la faire croître indéfiniment; ainsi il est absurde de dire qu'une quantité qui ne varie pas est infinie, et zéro peut être une valeur particiliére d'une quantité infinie. On voit quelle différence il existe entre l'infini métaphysique, qui est une chose complètement ' vague et incompréhensible, et l'infini mathématique, qui se définit d'une manière très-précise.

On <lit qu'une quantité est infiniment, petite quand elle a zéro pour limite.

Le symbole — peut se présenter comme solution d'un

problème et représente alors l'infini; mais cette loculion ne présente aucun sens si on la prend à la lettre, et

la solution — ne sera censée représenter l'infini que si au

zéro on substitue mentalement une quantité variable et infiniment petite. Essayons de nous faire comprendre par Exemple :

Concevons

i-chanl

auL-c une l'i/e.t.ie

Je a tnirtres par seconde dans le même sens qu'un courrirr B pttrcoiirant b mètres par seconde .' on demande à ifuelle cpwfue ils se rencontreront, ta distance à lai/ueUtîL j« trouvent l'un de l'autre étant l au moment du drpttrt.

Nuas avons déjà résolu ce problème, el, en désignant par I le temps qui s'écoule depuis le moment du dépat'L

ua peut alors dire que les courriers se rencooLrenl ù l'iii- CqÎ ; mais voici ce qu'il luul entendre par cette locution. A proprement parler, ils ne se renconlrenl pas du Luul. quand a = A, c'cstr^-dire ijiiand ils marchent tous deus avec la mcm*; vitesse; mais, si au lieu de faire brusquement n= A un suppose n fixe et b variable, a — b prendra diverses valeur!», et l'on voit que ( deviendra d'autant plus grand que a — A »era plus petit, car une fraction est d'autant plus grande que son dénominateur est plus petit, el croit au delà *le toute limite quand son dénominateur tend vers térvt. c'est-à-dire devient infiniment petit. Ainsi , dire ponr a ;=&, I est infini, c'est énoncer d'une manière ■W^gfe la proposition suivante :

X^ ttftnps axt bout dui/uel la rencontre des courriers a (îeu crxttt au delà de toute limite à mesure tfue tu diff<'-rr^ce tle^s espaces a et b parcourus dans une seconde tentl wertsëro-

XL — THÉOEiKES SVB ISS LISITES.

THÉonÊMK I. — Si (/eie.r fjiianlUil'S snnl ronstammenr égales, si l'une d'elles admet une limite, l'autre en admet une aussi, et ces deux limites sont égales.

En elTel, soient a et i les qHanliti^s Vîiriableô et A la limite de a; X^ a peut devenir moindre en valeur absolue que toute quanlilé donnée. Il en sero de nièine de A — i, qui lui csl égal; donc, par définition, A est la limite de b.

TllÉOnÊME II. -

est égale à la :

parties.

Soient, (

La limite d'une somme algébrique mme algébrique des limites de ses

dilFiircncc a

leurs limites respeetïvi ~x, p la dilTiirence 6 — y-

des quantités variable»

ni enfin a la

d'où

mais a, |3, ... peuvent ôire pris chacun moindres que toute quantité donnée, puisque ces quantités représentent les différences entre les variables et leurs limites; si donc les quantités x, j, s, ... sont en nombre limité, a, P, ... seront en nombre limité, et leur somme pourra être rendue moindre que toute quantité donnée, ce qui que rt -f- i -I- ... et j- -h 1 + . . . peuvent que l'on veut ; en d'autres

revient à di différer l'un de 1' termes, on

utred'a

;uppo<

Il est essentiel de remarquer que nous av nombre des parties de la somme variable 1 était plus ainsi, le tbéorème précédent pourrait tomber en

défaut : c'est ce que nous ùlalilirons neUciiicnt un peu plus tard.

Tbéoremb m. — La limite d'un produit de plusieurs facteurs est égale au produit des limites de ces /acteurs.

Pour le démontrer, désignons par x, y, z, . . . les facteurs variablus, par a,h,c, ... leurs liniites respectives; posons

a, ^, y. . . . pourront ôtre pris aus«i petits (jue l'on voudra, et l'on aura

ou bien

Si l'on EfTectue les multiplications indiquées, on trouve

.rr;.., =.nb.-. .-!-„,

w désignant un eosemble de lennea dans chacun desquels entre comme facteur l'une des quantités «, ^, y, ...; chacun de ces termes peut donc élre pris aussi petit que l'on veut, et leur somme u par conséquent aussi ; donc la différence w entre xyz ... et abc . . . peut être prise aussi petite que l'on veut; en d'autres termes, xyz. . . a pour limite abc. ... c. q. F. d.

Il faut observer que, en supposant que nous pouvions prendre u moindre que toute quantité donnée, nous avons implicitement admis que le nombre Jcs termes contenus dans ta était limité, ce qui suppose enfin le nombre des fadeurs x,^ , z. . . . limité.

TBÉonkMB IV. — La limite d'un quotie/tt est égale iia quotient des limita: du dividende et du diviseur.

En effet, soient D le tlividcnJe, d le diviseur, y le qiiftimD = lini./î ^3 linu/liraç,

m. — Bim LES soLvnoHs de u fobhe ■ , - , •■■■

o ro

Eu résolvanl l'équation d'un problème, on peul trouver

une solution de la forme - : en général, ce symbole indique

une indétermination dans les équations du problème, el par suite dans le problème luî-nitfme. Toutefois, la solution que l'on trouve ainsi peut provenir d'une solution plus générale dans laquelle on a donné des valeurs particulières à certaines lettres qui entraient comme données dans le problème; il peul arriver alors que le problème ne soit pas réellement indéterminé : c'est ce que nous allons constater sur un exemple.

PnosLÈME. — Du sommet d'u^t angle droit DOA comme centi'o on ilécrit un cercle (Jîg. 3 ); par deux points M et N de cccercte onjait passer une droiteMTi ; les distances MP et NQ des points M er N à la droite OD sont respectivement 3 et y, le raj on du cercle est a ton demande de calculer la ligne AO,

Désignons AO par ,r. Les triangles .\BM, MCN, semblables, donnent

cniPiTRE V. 117

ou

yla^ — $t ^a*__^t__ ^/,,î ^-1

Cette équation donne

Si l'on fait d ^=- 5', on trouve

Fig. 3.

La ligne AO, dans le cas que nous considérons, est réellement indéterminée, puisque toute droite passant en M passe aussi en N lorsque i est devenu égal à 9\ cependant le point A tend vers une position limite à mesure que le point N s'approche de N; cette position limite estrendroil où la tangente au cercle en M vient rencontrer OA : la quantité x a donc une valeur limite que Ton peut se proposer de déterminer à Taide de la formule (i). Pour y arriver, il suffît de multiplier par ^^a- — o'--f- \Vi- — 5- les deux termes de la fraction qui entre dans la formule (i); on trouve ainsi

JTT. 0-^ ,

Les deux membres de ccUe formule sont constamment égaux : donc leurs limites sont égales; or la limite de la fraction qui entre dans la formule précédente est égale au quotient des limites de ses deux termes (th. III, p. iiG): la limite de \/«' — d'^ quand 3' teud vers 5, est yja^^â^, comme i! est facile de le prouver par un raisonnement très-simple ; donc enGn

résultat exact, ainsi qu'il est facile de le constater directement.

Il serait difficile de donner des régies précises pour lever l'indétermination apparente que l'on rencontre dans la résolution des problèmes. Le plus sonvent les quantités

limites qui se présentent sous la forme — ou même - —

premient des valeurs déterminées après la suppression d'un facteur commun aux deux termes de la fraction, qui

devient — ou — ■

o oo

Ainsi, par exemple, l'expression . qui représente l'aire d'un trapèze dont la hauteur est h et dont les bases sont a et b, se présente sous la forme - quand on y fait a=b, c'est-à-dire quand le trapèze devient un parai-

lélo^ramme : cette indétermination ;ip>p3rente. on pIutAc cette aLsardîté apparente, disparaît loT'^qu'on a inf>f,nmé

aas. deux termes de la fraction ^ le facteur a — 4.

L*aife du trapèze prend alors la valeur

/7 — Zi — -

Cette dernière expression est tonjonrs égale à la précéilente; leurs limites §ont donc égales lorsque l'on l'ait tendre b vers a^ et l'on trouve, dans ce cas.

-- -af}.

c'est l'expression connue de l'aire du paralléloîrnmme,

Proposon.s-nous de trouver la limite vers laquelle tend Fexpression

Lorsque n augmente indétiniment. cette e-t pression est de celles «(iii ^e présentent sous la forme — On a

'il I

donc

i -. - îim II — -) f -t- hm -

t .'- { ^ n tt n

lim rr !im - "~ - r

j -. - limi I - I — iini -