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M, Si l'on joint les milieux A', B', C des côléa d'un triangle ABC, on obtient un nouveau triangle A'B'C; si l'on joint les milieux A', B', C doscùtésde A'B'C, onobtienl un nouveau triangle A'B'C, et ainsi de suiU) : prouver que les points A', B", C" ont pour limite pour n = oo le centre de gravité du triangle
S3. Soit j-un nombre quelconque; posons
proavBT que j^b a pour limite i quand « = os .
2*. Inscrire dans un triangle donné un rectanglede périmètre donné. (On calculera la base et la hauteur du rectangle en fonction de la base «l de la liauteur du triangle. )
23. Trouver les rayons de deux cercles, Cflnnaissanl leurs centres et les points de concours de leurs tangentes coramuncs intiJrieures et extérieures.
9S. Calculer les c4[^ d'un triangle, connaissant trois des rayons I des cercles qui toudieot ses côlés.
37. ÉU)nt données les bases et la hauteur d'un trap6i;e, calculer la longueur de la ligne parallèle aux bases qui pailago ce Irapè/e en deux parties i^quivalontcd.
28. Dans quel rapport une droite de longueur donnée, parolliito aux bases d'un trapèze, parla go- l-ello les côtés non parallèles de ce lr8[H;ïB î
20. Tar un point donné, on demande de faire passer une droite qui
intercepte sur les cûléj d'un anglo donn<J deux segments dont la moyenne harmoniquo soit une ligne donni!>e.
30. Deux points parcoiircnl tk-s druili'S OA et Ofi concourantes avec des vitesses a et b\ i\i parlent en mémo temps de points A el D : on demande do prouver qu'au bout d'un curlaîn temps (positif ou négatif) ils se trouveront de nouveau à une distance égale à celle qu'ils avaient ou moment du dâpart. [Discuter le résultat.)
N. S. — Il est entendu que les questions de Géométrie post'^s ridessus doivent être résolues avec le seul secours de l'Algèbre.
31. Etant donnés quatre points lî.xos A, B, C, D dans un plan, pour tout point M de ce plan on aura
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a,b, e, d,p désignant des nombres qui restent les mSmes quand on fait varier la posiUon du point M. La condition nécessaire et suffisanla pour que les points A, B, C soient on ligne droite est que il = o. Étant donnés les points A, B, C, déterminer D de telle sorte que
32. I\lant donnés cinq points fixes A, B, C, D, E dans l'espace, pour tout point M on aura
ri, b, r, i/, e, p désignant des nombres indépendants de la posiliou du peint M. La condition nécessaire et suffisante pour que A, B, C, D soient dans un même plan est e =^ •>.
33. Trouver un poinUi^lqiio ses dialancos^ trois ilroi les GxosBoioni proportiunnoUos à trois ligneB données. Discuter h sidution.
J4. Trouver dans l'ospiino un point tel quo bus dislancos à qualru plajis TisLoe soient propoi-tionneiles à quatre nombres donnas. Disculor la eolutioQ.
33. Trouver dans un plan uu point tel que ses distances i (rois points donnds soient proportionnelles k des nombres donnés.
36. Trouver dans l'espace un point tel quo ses diittances à quatre points donnas soient proportionnelles h des nombres donnés.
37. Sur cliaquo côté d'un triangle T on donne trois segments, et l'on propose de trouver dans le plan du triangle un point tel quo, en le prenant pour sommet d'un triangle ^aj'ani pour base l'un des segments en question, les sommes des aires de trois triangles ayant leurs bases sur trois cotés diUi^ronts du triangle T soient les m^es.
38. Un cûne solide dont la densité est S est posé par sa base sur un liquide dont la densité est A > S : les dimensions de ce cène étant données, on demande de combien il s'enfoncera dans le Uquide.
