I. — DÉnilITIOllS

L/OrâC[UC l'on a un système de n' qiianlilés

on appelle lignes tes rangées horizontales ou, si l'on veut, l'ensembie des lettres affectées du môme premier indice; W colonnes sont les rangées verticales on l'ensemble des l^urr^ aOectées du même second indice. Ainsi a,-j sera Vélént^rU de la i**™ ligne et de la y'*™ colonne.

On appelle déterminant (*) du système des h' éléments (•) la somme de tous les produits obtenus en prenant un élément dans chaque ligne et dans chaque coloonr, de lelle sorte que dans aucun de ces produits il ne •e lrou%e deux éléments appartenant à la même ligne ou h la ni<!tn(: colonne (c'est-à-dire portant n'.émc premier indice aa tn^me second indice); chacun de ces produits porte un sine dét«niinij par les considérations suivantes.

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l Ja«obi i rJiullanle i'Aprc* Lflplaca et Cauchy. Oiu-

(h. M J-ccbl -n» ■"«

i eroployii la Ucnomiintioii <]o sommet alleniért »>eo

bneUtîon Xiir<r„<t,

laS TRAITE u ALaEiinE.

Considérons le produit

de II fucleurs, qui fait partie du déterminant; ellecluons les iliirérencea des premiei-s indices dans l'ordre où ils se préscDtenl, et les dKTcrences des seconds indices aussi dans l'ordre où ils se présentent (*), et fornaons le produit de ces différences, à savoir ;

Si ce produit est positif, on donne au ternie (a) le signe -h; on lui donne le signe — dans le cas contraire.

Je dis que la définition précédente est nette et précise; en d'autres termes, je dis que le signe du produit (a) est bien déterminé et indépendant de l'ordre dans lequel on écrit les facteurs a^-., n^,, .... Pour le prouver, il snffit de faire voir que le si^ne en question ne change pas quand on intervertit l'ordre de dcu\ facteurs consécutifs quelconques, parce qu'alors on pourra, en intervertissant successivement l'ordre d'un certain nombre de facteurs consécutifs, faire passer tel facteur à la place que l'on voudra. Considérons donc les deux facteurs consécutifs

du produit (a). Les permiiler, c'est permuter dans le produit (3j les lettres p et y d'une pnrl dons la première ligne de ce produit, ct et ;^ d'autre part dans la seconde ligne du même produit (3), or le cbangement do

(*) J'enUadi par lï que, éUnI raal écHU Jani le proiluit (i), le rem tWo TaiWi en relrauchanl to

o l'ardre dans lequel lu lacleiin n

CBAPITKE VI. lay

p en q altère te signe de la seule dlfTérencc q — p, qui «ifricnl p — fj ; le changemetit de ^ en n altère le signe de U 9«ule différence X~~^i T^^ devient n — ■^■, ainsi, la pennutaiion des facteurs a^^, a introduit un double changemenl de signe dans le produit (3), c'est-à-dire que, en définitive, ce produit et par suite le produit (a) conservent leur signe quand on permute leurs lacleufs.

PBOPEIÉTfiS DES DÉTERMINANTS.

ThéOU-Ème 1. — Un déterminant conserve sa valeur ^uand ses lignes deviennent colonnes et que ses colunnes dt^enncnl lignes.

£n efTett soit D le délenninant des quantités (i], D/ ce tfue devient ce déterminant quand on remplace les lignes par les colonnes. D cl D' contiennent lous deux le terme •j^^T, • ■ ■ "(i fi' dans D comme dans D' le signe est celui da produit (3).

TatoaËMe II. — Lorsque dans un déterminant on permute deux lignes 'ou deux colonnes), ce déterminant ae trouve multiplié par — i .

Un cffcl, soient pelq les numéros des lignes permutées ; le déterminant est une somme de termes de la forme ^. . -a-^a-j . . . (')oùlcs points indiquent des lel très manaoaaies ne portant aucune le premier indice p ou q. En pennaLaot les deux lignes en question, on permute dans dunoe produit tes indices pelq\ mais alors le signe du

) Ko** 'Vf i' Kl <iu* l'iD poufail icrire lot faeleurB dans un ordre ■tous «eriroa* lion l'êliiineiit a^ ■ cûlù ils a,, puur raBÎlllor

produit (3) est changé, en sorie que le signe «lu terme considéré ±. . -Opart-j. . - est simplement changé; celle proposition étant vraie pour tous les termes du déterminant considéré, il eu résulte que le signe de ce déterniinant se trouve lui-mâme changé. c. q. f. d.

Théobème m. — Un {ièlerminant dans lequel il existe deux lignes [ou deux colonnes) identiques est nul.

En effet, supposons que la ^'*"* et la i/'*"" ligne soient identiques : en les permutant, on n'allère évidemment pas le déterminant, qui reste identique a lui-même; mais, d'après le théorème précédent, il doit se trouver multiplié par — I . En appelant D la valeur du déterminant en question, on doit donc avoir D = ^ D, c'csl-à-dire D = o.

Il est bon Je faire connaître la définition que l'on donne souvent encore du signe de chaque terme dans un déterminant. On suppose un terme quelconque ordonné par rapport à ses facteurs de telle sorte que, par exemple, les premiers indices aillent en croissant. On dit alors que le signe du terme est -+■ si le nombre des inversions est pair et — si le nombre des inversions est impair; d'ailleurs dcuK lettres forment une inversion si le second indice de la première est plus grand que le second indice de la seionde. Celte définition est comprise dans la nôtre, puisque nous avons prouvé que nous pouvions écrire les facteurs d'un produit dans un ordre arbitraire sans changer

Tuéorèmf: IV. — Si dans un déterminant tous les éléir.etits d^U'te même ligne {ou d'une même colonne) sont nuls à l'exception d'un seul, ce déterminant se réduit auproduit de cet élément par un déterminant de degré moindre.

En eOet, considérons le détermiDant (i) et supposons d'ïbord ai, = (>,!= "ii= - . . ^=o,„^ oeln,,^o. Si nous •ppolons e le signe du produit

P = 1,5 -, 1 : 7 -»,... iv - «;nv -?)(■-- S) ... (v - ^).

\c ilétcrmînaDt (i) pourra se représenter par le symbole

en supprimant alors les termes pour lesquels « > i , lesquels sont nuls, puisque a,, est nul pour a ^ i, il reste

/ tlêsi^ant ce que devient le signe de P pour et = t. Ce Rgne est évideoimeot celui du produit

On voit immédiatement alors que l'expression (D) est, par «léfinitîon, égale au produit de a,, par le déterminant obtenu «n supprimaut dans (i) la première ligne et la

prpintere

coloni

Supposons maintenant que tous les éléments de la i**" ligne soient nuU, à l'exception de «,y. Ëcliangeons la »"••* lïgoc successivement avec chacune des i — r lignes placées Bv»nt elle; le déterminant se trouvera multiplié par (' — ')'~'r niais la i'**" ligne sera devenue la première. Échangeons la /""* colonne successivement avec chacune de» pr^cédeniirs; elle deviendra la première, et le déterminant se trouvera multiplié par ( — i)'~'x[ — t)-/'' ou par ( — i)^'- Toutes les lignes et toutes les colonnes auront caa*ervé leur ordre, k l'exception de la i'*"' ligne el de la /•■" colonne; mats l'élément a,j occupe la premiiVe place,

t3a TRAITÉ DALCÈBnE.

el Dous sommes ramenés au cas examiné loul à l'heiirc. Ainsi, dans le délerminanl (i), le cocfiicicnt de n,j est égal au produit de ( — 1)'+-' par le déLerminant obtcuu en supprimant dans (i) la i"™* el la y'*"'" colonne qui contîenncnt aij.

Od verrait de la même façon que le coefficient de t^iittia — ^iiiii est le déterminant obtenu en supprimant les deux premières lignes et les deux premières colonnes, elc, etl'oD peut ainsi décomposer un déterminant quelconque en une somme de produits de déterminants lie degrés moindres. Nous n'insistons pas sur ce point, qui n'offre pas de grandes difûcultés. Le problème suivant va éclaircir ce que nous venons de dire.

Problème, — Etant donné le déterminant

on propose de l'ordonner suivant les éléments d'une m fine ligne ou d'une même colonne.

En d'autres termes, si nous posons par exemple

D = A;rt, + B,i,. -i- . . . H- r.,/„

il s'agit de déterminer A/, B;, . . . , L/. Pour y parvenir, on observe que A,-ai n'est autre chose que ce que devient D

quand on y suppose

que B,t, est la valeur de D pour