CHAPITRE VI
On a donc, en vertu du théorème précédeut,
Ci^
B, = (-iy-+^
'rt
A/, B/, . - - sont ce que l'on appelle les déterminants mineuj's Ail déterminant (i).
En général, on appelle déterminants mineurs d'un déterminant ceux que Ton obtient en supprimant un nombre quelconque de lignes et un égal nombre de colonnes ; Vordre d'un mineur est le nombre de lignes que l'on a supprimées dans le déterminant primitif.) On trouve ainsi successivement
fi,
Ok
—^fibir3 — friCiù;^ — aibir.^-\-rfo/\b^~ha^bir
(fy'inj
- BÉSOLVTIOH D'DH STSltHG BËIÉBIL D'ÉQUATIDIS UHÉ&IBIIS.
C'est en essayant de irouver des foritules générales puur la résolution des équations linéaires ou du premier degré que les géomètres sont arrivés à la notion des délerminants. En étudiant avec soin les propriétés du dénominateur commun des inconnues dans les équations à deux, trois et quatre inconnues, ils ont fini par y découvrir une loi de Tormalion qui n'est autre que celle des déterminants.
Considérons le système d'équations suivant, dans lequel Xi,X2, ■-■, r„ désigneront les inconnues el dans lequel les autres lettres désigneront des coefficients indépendants des inconnues :
Désignons par D le déterminant formé avec tous les coefficients des inconnues pris dans l'ordre où ils se présentent;
désignons par A,j en général le délerniînant mineur obtenu en supprimant la ligne et la colonne qui contiennent l'élément aij, ou, si l'on veut, la /"'"'ligne et lay''"°" colonne. On pourra ordonner D, suivant les éléments de sa première
CIHPITIIE VI.
colonne
A,7 sera le cocdGcient de
ajj dans D et l'on
D=A„Ou-f-A„«„4-.
maison aura aussi (p. f3o)
o=A„o„-HA„«„-f-
o = A,trti, + A„(i„ +
o = A„fl,.-(- A„fl,,+
..-(- A„,rt„„.
En effe
, les seconds membres de
ces équations ne
sont 1
taire chose que le déteriuinani D,
dans lequel on a
rem- ■
placé la
première colonne par la sec
onde, la troisième
Cela posé, nous examiaerons d'abord le c
tous le^
détermiDanls mineurs Ai,
, A, , A^.nc
sont '
pas nids
à la fois.
...la
secoude
par Aji, la suivante par A.3
et ainsi de suite,
et en
ajoutant
les résultats, on obtiendra
une conséquence
légi-
Une do
ces équations (p. 79) ijui
pourra remplacer
l'une
qoelconque d'enlre elles. Or dan
s le résullal, en
vertu
e coefficient de x; sera D
1 celui dex„ cel
L>i de
Xt, ...
seront aub; ils sont en elTel égaux aux seconds M
nembrcs des é^ualioDs (3), et l'on
aura simplement
Dzr, = A„i, ■+■ A„ï,-»- .
d"ob l'on conclura la valeur de l'inconnue x, :
Aii».-f-A,,/.-t-
On aura
l de la même façon
■ + A.fï,
Tnvirn DAiGËnni!. Ainsi, quand les mineurs de D ne sont pas nuls, on peul énoncer la règle suivante, dite de Cramer :
Tbéorëmj
linéaires, en nombre égal à celai
■ Les racines d'un système d'équations
sont des le déier miel pour remplaçant dans qui contient les
/'raclions ayant pour dénominateur nant du système des coefficients des numérateurs les déterminants obtenus le dénominateur commun la colonh coefficients de l'inconnue que l'on cherche par une colonne Jormée des seconds membres des équations proposées.
iT. ~ mscnssiOH des foriidiis précédentes
Les conclusions précédentes tomberaient en défaut si le dénominateur D élail nul, Eti efiel, la formule (^ ), conséquence légitime des équations (i), serait en général absurde, le premier membre étant nul et le second différcnL de zéro; le système (t) serait donc lui-même absurde. Toutefois, si le déterminant
-r A„,,Ci
était nul aussi, la formule (4) se réduirait à l'identité o ^ n, qui n'aurait plus rien d'absurde; mais alors, en multipliant la deuxième équation ( i) par Aj,, la troisième par Aj,, etc., et en les ajoutant, on aurait une équation qui, en vertu des formules (2), (3), (4)% se réduirait identiquement à
C'est la première équation (1) multipliée par An. La première équation (i) est donc une conséquence des autres, et, X( étant choisi arbitrairement, n — i des équations (i) serviront à calculer les autres inconnues, si leur déterminant n'est pas nul.
Si Ai « , Aat > • • t An, étaient tous i serait bien une identité, mais ou ne serait plus en droit de ronrlare que les équations (i) forment un système indélermioé; en effet, (4) ne serait plus une conséquence du «vsièine (i) puisqu'on l'obtient en ajoutant les équalîiios Je ce système (i) multipliées par zéro, ce qui n'a ■orun sens.
il rc^te donc à examiner le cas où tous les déterminants mineurs A/y sont nuls. Ce cas a été traité pour la première fois par M. Fonténé, maître d'études au lycée Saint-Louis, rt par M. Rouché.
Nous supposerons en général que tous les déterminants mineurs obtenus en supprimant i — i lignes et i — i cokionrs <Ians D soient nuls (ce qui suppose les déterminants I de degrés supérieurs nuls ainsi que D). Mais aoaâ supposerons que l'un des déterminants mineurs «litcnus en supprimant i lignes et / colonnes ne soit pas : ce sera, si l'on veut, le déterminant obtenu en ôtant k D les * premières lignes et les i premières colonnes. 'Ecrivons alors nos n — i dernières équations et l'une des wUeSi la y**"" par exemple, comme Jl suit :
tw*.-
V*+ ««.rf^-l '(-n ■
Si Foo y considère x,, X,, . - . , x,( comme donnés, le déterminant A du système des inconnues J7/, Xj^, , . . . , x„ term nul ; mais le mineur de ce déterminant qui multiplie «,, ne M:ru pns nul parhypol{ièse(c'eslcclui que l'on obtient en «uppritnant dans D les i premières lignes et les i premièn^f colonnes}. Appelant alors A;. A/+,, .. . A„ les eoenicienis de n,„ d,,^, ,j k,, , dans i, on iiiia en
t38 TB^lTB D ALGËDHE.
ajoutant les formules (5), après les avoir rauliipliiiesrospcctiveinenl par Aj, A,-^,, .... A„,
car Ions les coeUficicnls Icls que
soni des déterininants mineurs do D nuls par hjpothèse. Si donc une ou plusieurs des ijuantités telles çite
n'est pas nulle identiquement. Pn supposant
le sj-stémo [i)sera Incompatible, sinon il sera i/tdctnrminé; la pretnière équation (5) sera une conséquence des suivantes, ainsi que toutes les équations (i) non écrites dans le groupe (5), en sorte que i des quantités x pourront être choisies arbitrairement; les autres auront des valeurs bien déterminées, exprimées nu moyen des premières.
T. — EEU&BOnES.
KEUtKQCB I. — La règle de Cramer montre que les inconnues sont des fonclions linéaires des seconds membres des équations (i).
Reuàbqde II. — Le système d'Oquations i
a. x + i, r-\-c, z-h.. .-hl, a
est évidemment indéterminé dans le cas général; mais, si l'on divise chacune des équations par u el si l'on considère
les rapports ~,Jet l'on aun
I ils auront âa valrt
RsKAkQOK m. — Si l'on veot éliminer les n quantités y, K, . . ., u entre les n + ■ équations
1,' X+tt J'-f-'-'+'t ■+*! =0.
JB saflil de porter dans la dern
en: les valenn de x, Tt *
« tirées des n premières; on
trouve Mail
I Si actuelleiueat , <laD» chacun des déterminants qoi figurenl rdans réc|ualion précédente, on place la colonne des s la I dernière, ces déterminants vont élre multipliés par cerrtaînea puissances de 1 — 1), celui qui multiplie t,^, l'Cscepté, car dans celui-là la colonne des i est la dernière; Lies signes de ces déterminants seront alternativement -+- — : si enlin on cLangc les signes dans la colonne des $, ihaqtie déterminant clian^e de si^ne, excepté le coelTicicnt ., ; on voit ainsi ( prohlémci p. t^i 1 aue le résultai
Mo TBAITÉ D
cherché de l'élimination est
fi.
Cette équation s'appelle la résultante des équations proposées.
autrement, éiimincrx, y. — , u entre les équations (S) ou éliminer .r, }', . . . , u, l entre les suivantes.
qui sont homogènes tt dans lesquelles on peut considérer
les rapports - • - > - comme les quantités à éliminer, sont
deux opérations équivalentes. Or, éliminer x, y, . . . , u, t entre les formules (R), c'est écrire que ces équations ont encore lieu pour des valeurs de a:,/, z, . . . , u, t difTérentes de zéro; c'est donc exprimer que le système (R) est indéterminé, ce qui se fera en égalant à zéro le déterminant des coeflicieots (p. iS^).
Rehauque IV. — Pour qu'un déterminant soit nul, il faut qu'il existe une même relation linéaire et homogène constante entre les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne; l'équation (T), en effet, exprime qu'il existe dus quantités or, j', 2, . . . , k satisfaisant aux équations ( S ).
Remarque V. — Lorsque deux systèmes d'équations linéaires ont les mêmes solutions, l'une quelconque des équations du second système peut s'obtenir en ajoutant les
équations du premier multipliées rcspecii factenrs convenablement choisis.
les valeurs de jr,, x^, ..., Xn !e5 équaliiios (r) ont u
quantités i
, d'après la règle de Cra
= I, a, ..., n. Si l'on multiplie alors la première Mtïon (i) par X,, la seconde parXj, ... et si on les ajoute, ~ on tronve
.-hl„j
Celle éqnalion et (U) ont lieu pour les mOmes valeurs de
x,,lt ^b\ leurs seconds membres sont donc identiques :
dfinc cnlin (U) s'obtient en multipliant les équations (i) pftT des fadeurs 1 convenablement choisis et en les QJnutanl. c. y. F. D.
TI. - CORDITIOH POÏÏS OUI DES ronCTIONS LIHÉAIBES
SOIENT mStPEKDAIITES.
Can»>(lérons p fonctions linéaires et homogènes /<. /,. .... /"p *le :r,, Xi, . . ., ï„, p étant censé moindre mmcn-t-i- Pour qu'une nouvelle fonction /p^, dépende ie celleft-cî, ou si l'on veut pour que les équations
•ment înd<^ terminées (les p premières étant supposées toJlc* qu'elles dt^lerminent t,, :r,, ..., Xp en fonction it» autre» ^t ^ nouvelle équation ne pouvant pas servir
1^3 TRAITB
à (lëtermiRer une inconnue de plus), il faudra (jiie X, )>j, ..., Xp^.1 d^aignanl des quantités indépendantes di
Xi, Xi, . - - , x,„ on ait idenliqnement
ce qui fournira en égalant à zi^ro les coefficients de x,
, n éqnalions linéaires en \^ devront rentrer dans p ■+- 1 d'entre elles,
ige que
s mineurs d'un 'nts, toutes les
i tous les miuls, il faudra r coefficients
-p délerminanls à (p + i)" éléments soient nuls. // faut donc n ~p conditions distinctes, pour exprimer que p-\-i fonctions linéaires de n variables ne sont pas distinctes.
Il résulte de là que, en égalant à zéro le certain ordre d'un déterminant à n" éléini équations ainsi oLtiïniies ne sont p.ns dislii
Si l'on veut esprimer, par eiemple, qui s à/» -!-i lignes elp + i colonnes son In exprimer que p fonctions linéaires ayant pou les éléments des p premières lignes étant données, les 71 — p fonctions linéaires ayant les autres éléments pour coelïicients ne sont pas distinctes de celles-ci. En exprimant que chacune de ces m —p fonctions linéaires dépend des premières, on devra écrire m — p conditions. Donc, en tout (n — pY conditions.
En particulier, si l'on exprime que tous les mineurs du premier ordre d'un déterminant sont nuls, on n'obtient que (rt — i)* conditions ; en exprimant que ceux du second ordre sont nuls, on en obtient (« — a)-, etc.
TU. — S0R DES SWFLinC&TIOITS RELATIVES AC CALCUL DES DÉTEBHmAHTS.
Pour ajouter deux déterminants qui ne diiïiïrent que par une -seule rangée, il suffit d'ajouter terme ù terme
les rangées doii itJenliques; c'est ce qu'il est facile de prouver eo mettant les deux délerminants sous la forme
a,, a^ a„ela,, 1X3 ■ . . . «a désignant les éléments des
colonnes qui diffèrent. On aouve alors pour somme des déterminants en question
ce qui démontre la règle que nous avions énoncée.
Cette règle n'est pas sans importance : il en résulte, en effet, qu'un déterminant ne change pas de valeur quand aux lemics d'une rangée on ajoute ceux d'une rangée pArallête multipliés par un facteur constant, car cette opération revient à ajouter au déterminant proposé un détenainant dans lequel une rangée a ses termes équlmul- Itples d'une rangée parallèle, c'est-à-dire nul. En appliquant cette remarque, on trouve 2 3 4
Nons donnerons encore la démonstration d'une formule remarquable.
Proposons-nous d'évaluer le produit des différences de m qiianlitvs
(i-o|.,.'l-cl =P.
i44 TKMTE n'iLciinnE.
Si l'on considère le tlélermiiiaul
D el P sonl deux polynômes du degré n — i en a qui se réduisent à zéro pour les n — i valeurs l>, C, - . - , / de a ; ils sont donc loiis deux égaux an produit de
{a~l,)(a-c)..-(a-{) par une quantité indépendante de a; en d'aiilres termes, leur rapport est indi?pendanl de a (voir p. 42 )■ On démon- Irerait de la même façon que leur rapport est indiSpendant de 6, r, -..,/; pour déterminer ce rapporl, il suflit d'observer que les termes en \ ,b.c' ■ . . /''~' ont tous deux pour coefficients l'unilé dans P et dans D, et, par suite {p. 4^- Remarque I), on a P =^ D. c. o. f. n.
On peut conclure de là que le résultat de rélimin;ilion de x,y, z, . . ., u entre les équations
s'obtient en égalant à zéro le produit des diiîérences des quantités a, b, c. . . . , l\ si donc toutes ces quantités sonl inégales, les équations précédentes sont compatibles.
VIU. — HULTIFLIUnOII BES SÉTEBUHAKTS. Lemhe l. — Soient
«M a„ ... «„ „ An b„ ... b,„
deux déterminants du même ordre.
£e déterminant
' dont letjuel tous les éléments placés au-dessous des été' ments a sont nuls, est égal à AB.
En cOet, le délerminant C se composera de termes conte- □ani n étémcats a et de termes contenant moins de n élénenU a. Or un lerme qui contient moins de n éléments a contient au moins un élément appartenant aux colonnes des a, mais pris en detiors des lignes des a, c'est-à-dire un élëinenl nul, et sera nul ; donc le développement du détei^ minant C ne se composera que des termes contenant n éléloriits a, et par suite n éléments b ; il sera donc icdépentlanl des p.
Désignons par P le nombre des différences négatives I «lue l'on peut former avec les indices ce, ^, .... 5, et. par I Q le nombre des différences ni^gatives que l'on peut 1 former avec les indices X, jx, . . . , p ; le déterminant C sera I de U fornic
C = S(- j )P*Ort|«a,p . . . -i„aA,iAi|t - . . 6„p, signe S se rapportant aux indices a, ^, ..., S, \ , ..., p. On peut encore écrire
je'esl^-dîre, par définition,
ifa,3,a,f,...
,îB =AB.
Ainsi on a bien 1.
I '|G TRAITÉ d'algèbre.
Lemme II. — On verrait de même que
o ^11 ... ^ij
O . . . o bn\
^1/1 Pn
^nn Pn\
'an
— AB(— i)".
On passe, en effet, de ce déterminant au déterminant C eu faisant n permutations de lignes.
D'après le lemme I on a
[i) AB
flll
«in
Otn
fl •
«ni
^nn
bu
Ceci posé, 1° multiplions la /ï-hi**"* colonne par an, la Ti-J- 2'®"® par a2i, . . ., la dernière par a^i, et ajoutons ces colonnes aiasi modifiées à la première; 2" multiplions la 71 -H i'*°® colonne par «ij, la /i -|- 2**"® par a^^^ . . , la dernière par â 122, et ajoutons ces colonnes ainsi modifiées à la seconde, et ainsi de suite. Si nous faisons, pour abréger récriture,
^n^ii-i-^îi^iî4- . . . -f-^irti^i,, =^1,
•*i/^yi "+- ^i/^ys +...-!- a„ihj,^=z cj,.
I formule ( i) deviendra
Cl, 6|i i|, O-n *nl Kx
fMi, en vertu du temme II, (3) JB = . "■■
C'est dans celle dernière égalité que consiste la règle donnée par Binct et par Cauchy pour la multiplication de deux déterminants.
La formule (3) donne lieu encore à trois autres formules, que l'on obtient en changeant les lignes en colonnes dans les déterminants A et B. Ainsi, dans la formule (3), on peut «apposer à volonté
C,,;= a., 6,, -H fl., 6,j -i- ... -H a-il/^j.
ey = «„6,^ + fl„6,;-i- ,.
<tj=a„bj,-i-a,,bj,-f- ..
ArPLiciTios. — On a
1 « * [ [ «f rf 1 1 «c + fc-/
! «■ 6' Il c' r/ 1 1 a'c+i'rf
a' ■■■-+- A' rf
1 a. -4- ûV
(fa/ -i^a'J
^ 1 Ar -u /. c'
bd + i'rf'
XalITË O'iLGÈBHE.
ce ((uî donne les identités
(ab'— ba'){ctir-~iù/] = {a,
(ac'+irf') [fl'
odH
t,'d'){ùc '^- b'c')-
mple, on fait a
exemp
iab--ba-Y = {a-+b']ia"+b")-{aa'+bb'r-^..-
CoKOLLAiRB I. — Si l'on suppose a„i = o, «,,5— o, . . . , n,„= o, a„,i =^ o, a„^n=z o, . . ., «„,„:= o, . . , on voit que le déterminant SdiCn 151 ... c„„ sera nul, cij étant défini par l'équation
oij^^ii^ij-^ iii-^ij+ ■ ■ ■ -^"tibt/ (A<n).
ConoiximE II. — Si l'on forme avec les deux systèmes d'éléments
I "*! "il
les éléments
'^ij = "il ^/t -^ "/i ■'/> ' ■ ■ ■ + i(,, bja,
le déterminant 2 rh C| , , Cja, . . , t ,. , sera égal à la somme des produits des déterminants obtenue en prenant A' colonnes dans les Tableaux (3) et [4)-
Cela tient évidemment à ce que, si dans un délenninant
on change /»,, en p,,-h '/,, -\- r,,, ptienp,j-i~ ^^-i- , . . ., p, , vn pi,, H- q,„ -h i,„, ce déterminant devient
Voici ane application :
j «* -»- ^* -4- c* aa-h b^ -{- cy \ aa ^ b^-h cy a* -+- p* -4-7*
b^ aoL-^bp b^-\-c^ b^-^-cy
fl* cy H- «a*
c* cy
aa.
OLCy\
ce qui revient à ridentlté, souvent utile en Géométrie,
(a* -h 6« -4- c«)(a* -h p« -4- Y*) — (aa-4- 6P -f- cy)*' «. (a? — ba)^ -+- (6y — cP)» -^ (ca - /îy)«.
EXERCICES ET NOTES
