CHAPITRE VII

csl négative, l'équalion n'aura que deux racines; si elles sont négatives toutes deux, Téqualion (i) n'aura pas de racines.

Nous allons faire connaître une formule qui permet de simplifier dans bien des cas le calcul des racines de Téquation (i) ; les racines de cette équation sont de la forme

Va + v^b.

Le problème que nous allons nous proposer de résoudre est celui-ci :

Problème. — A e^ B étant censés rationnels, on demande de trouver deux nombres u et v rationnels satisfaisant à la relation

Remarquons auparavant que, si Ton a

m, /i. mfj ni désignant des nombres rationnels, on aura forcément

si ku et \n ne sont pas comniensurablcs. En efTcl,

et, en élevant au carré, 3 n^z' m' — m .• -+- /ï' -i- 2 \n 'm* — m ).

Or le produit i\n'[m — m) sera incommensurable tant que /// — ni' ne sera pas nul, car, si ce nombre était coniaiensurable, on pourrait poser

^^r^'i^„,'^fn]= i-,

V étant des nombres entiers, d'oft

\[^ serait donc égal à un nombre commensurable, ce qui est contre notre hypothèse. Mais alors, si m^ni', le second membre de la formule (3) est incommensurable, le premier ne l'est pas; donc il faut que l'on ait m^ m', et

Cela posé, revenons à la formule ( carré, on a

. En élevant ;

A— U4-W, ^B^a^HC ou yB — UI'.

Nous ferons ensuite observer que, si le radical <JB est pris avec le signe — , les radicaux \/u et \/v devront être pris avec des signes contraires. On connaît ainsi la somme et le produit de u et w; ces quantités (p. i6i) sont donc racines de l'équation du second degré

T;i=Y/ïI^:^y^

(4) Va

Cette formule résoudra le problème toutes les fois que A* — B sera un carré parfait. Toutefois, nous ferons observer que la formule (4) est une identité et qu'elle a lieu

GSAmRB VII. 173

dans le cas où les nombres  et B sont tout à fait quel* conques. En efTet, les deux nombres u et (^ ont été déterminés par la condition de satisfaire aux. formules

qui satisfont à la condition

u-^ pztiT. ^luç = A db v'B , c'est-à-dire

V^r±iV'p = VA±\ B,

quels que soient A et B. Du reste, la formule (4) se vérifie aisément en élevant ses deux, membres au carré.

Exemple. — Résoudre Téquation

On a

Appliquons au calcul de x la formule (4)* Pour cela. Il faut faire dans cette formule

il vient alors

(/pi- I p

La transformation en question réussira donc toutes les fois que q sera un carré parfait; ainsi l'équation

j:* — i^x^ -h 36 -- o donnera

VII — PROPBIÉTË BEMARaUABLE SU TBIKOKE x^ + />:r<-4 -7.

Le trinôme x* -f- px^ -h ç peut toujours se mettre sous la forme d'un produit de deux trinônes du second degré. Ceci est évident lorsque les racines de Téquation

sont réelles, en considérant x* comme Tinconnue; alors, en effet, en désignant par j/ et x'^ ces racines, on a

Supposons donc xl e\ ocP imaginaires ; alors on a

D'un autre côté, en considérant x* et q comme les termes extrêmes d'un carré, on a

(2) j:*-+-/>.r*-t-^ = (j7*-hV'7)' -+-(;? — 1\1(j),t^.

Mais de la relation (i) on tire successivement, en observant quey>o,

Si p est négatif, cette formule sera satisfaite d'elle-même. La formule ( 2 ) peut alors s'écrire

X* -H px^ -t- q = [jc^ •+■ \jq j^ — x* (y 2 y/7 — p)

CBAPITRB VII. i;

I oa bien

X* <- px' -h rj

:=^ij^+ \q — *\ t^/q - p) {■^-i-'i/'l + -^x'^s'l — p)- C. Q. F. D.

APFLICiTIOBS. On a

DES aUESTIOHS SX MiXUfOlI BÉSOLDBLES PAB DES taïUTIOHS DO SEGOn) DE6KÉ.

On (ij.pelle maximum Lriint; quantité varialils une valeur de celte quanlilt; plus çranJc que ccllci qui la précèdent el la suivent imnii'tlitilemenl.

On appelle minimum d'une quantité variable une valeur de celle ciuantité plus peliie que celles qui la précédenl et la suivent immédiatement.

Comme ou voit, le maximum d'une quantité n'est pas la plus grande de toutes ses valeurs; celle-ci porte le nom de maj'imuiit absolu. On appelle de même minimum absolu d'une quaniiti'? la plus petite de toutes les valeurs de cette quantili^'.

Si nous consid<^rons, par exemple, une courbe sinueuse MN {fig. 4) el une droite DE situées dans un

Fis. 4.

Ky

m^me pbr

distance d'un point quelconque de MN

178 TRAITE DAI^KimS.

à DE est UDe quantité variable qui est maximum un B et en K, minimum en A et en C. Un minimum, comme on voit, peut être plus grand que certains niaxima.

PnOBLÈMB [. — Trouver le maximum d'un produit de deux facteurs dont la somme est constante et égale

Soit X l'une des parties de la somme ; l'autre sera lo — X, et l'on aura, en désignant par j le produit que

ou bien d'où l'o

A l'inspection de cette formule, on voit que la plus grande valeur que puisse prendre t est a', car, pour de plus grandes valeurs de y ^ n'existerait plus; pour j- = a*, on a .r = n. Ainsi les deux facteurs du produit i sont égaux lorsque ce produit est maximi:m absolu; du reste, j) peut décroître de rt^ à — co .

PnoBLiiME II. — Trouver le minimum d'une somme de deux facteurs dont le produit est constant et égal à p^.

En appelant x l'un des facteurs, l'autre sera —t el,j désignant la somme que l'on veut rendre i

-j-dz-v'/'— 4/''-

îSlt imnâédiatemeiil que l'on peut faire croître j-* au delà de toute limite, maïs que l'on ne peut pas lui donner lie val(!urs inférieures à 4/'*- ) ^= a/' est donc un niini-

, ^' ^^= "zp un maximum; du reste on a alors

cl l'on reconnaît que les facteurs doivent être égaux et pontifs pour iju'il y ait minimum, égaux et négatifs pour qu'il y ait maximum.

de ta Jraclion

• Trouver les mnxinia et les minima

Résolvons parrapport à ,r;

Si nous posons alors

n* .^ mp :^ V — a/i6 -4- 4 me -»- 4 "y =

il vient

Ibrnrtulc tlans laquelle le trinâmc u placé sous le radical devra ^ire positif. Nous aurons trois cas à distinguer :

,o ^a — i^iv^o. Le trinâme ^7 '+ ui -f- v ^ u peut alors se mettre sous la forme

u = iir—y]lr—j'), ->ù r<7".

ny' — h

", au contraire, sera

1 minimum

OnJanlc de x sera

Si alors \ esl positif, le Irinôrae u ne sera posJlif que poui tomes les valeurs de j' non comprises entre y' e.ly"\ y' sera alors une limite d'accroissement pour y, un maximum. La valeur correspondante de x sera

et la valeur corres-

■2.{my-a)

Sî, au contraire, \ est négatif, u ne sera positif que pour les valeurs de jj' comprises entre j'' et j'";j' sera un minimum, j^" un masimum.

a" Si fi* — 4^1* est nul, le trinôme u est un carré parfait BU facteur \ près ; si ce dernier est positif, les valeurs de x prennent la forme

11 est clair que,/ peut passer par tous les états de valeur possibles; il n'y a donc ni maximum ni minimum. Sî \ est négatif, on ne peut donner qu'une seule valeur admissible h. y, celle qui annule le trinôme u.

3" fi^ — ^'i.-v<I^Q, dans ce cas, le trin<3me u conserve toujours le signe de X; si donc 1 est positif, il n'y a pas de maximum ni de minimum; si X est négatif, il n'y a pas de valeur admissible pour x : ce cas ne peut pas se présenter. 11 est bien clair, en effet, que, si l'on donne à x une certaine valeur dans l'équation ( i], il en résultera une autre pour y, et par conséquent, pour certaines valeurs données de y, îl existera des valeurs correspondantes pour X.

CflAPITRB Vil. ICI

Revenons au cas où l'on aurait Si Ton remplace X, jj., v par leurs valeurs, on a ou bicD

p»— 41, =|6|0!'<-' +(!>'+ ffc/j'+mpi>

— i/inbc — ti/i/>ri — 7.'irm[i \.

Si l'on suppose a=^ mi. f< =^ ni. c = />i. la relation préeédenie donne

Nous savoDS, i?ii elTet, qu'alors y conserve une valeur

iodépendanlc (le j:.

^v II nous reste â examiner le. cas où t :== o. Dans ec cas, ^Hpjr a toujours un maximum ou un minimum donné par la

Cbobluib I. — Trouver le maximum d un produit de plusieurs facteurs dont la somme est constante.

^H Considérons d'abord le cas de di

STTB aOELaHES QUESTIONS DE MAXOTOH ET DE HtlIIIfnH a£S0LIIE8 a L'&lDi: DE PROCÉDÉS ÉLÉHEHTAIBES.

tassons la somme a-i-b consiante; il est clair que le urcmicr membre de cette égalité sera masimum quand le

^crme soustractif

TR.VITH D ALGEBHB.

minimum. Si donc on lors la valeur maximum

peut prendre a=^b, on i de ab.

Considérons maintenant un nombre quelconque de facteurs alic.l; il est bien clair qu'on ne change pas

leur somme en remplaçant a el b par ■ Mais, si a et A

sont diGTérents, on voit, d'après ce qui précède, que ab

sera inférieur à ( \ ; donc, tant qu'il existera deux

facteurs inégaux dans le produit, il ne sera pas maximum ; donc enfin le maximum cherché a lieu lorsque tous les facteurs sont égaux.

On peut conclure de là le théorème suivant :

Théorème. — La moyenne arilhmélique de plusieurs quantiléna, i, c,. . ., l esl plus grande que leur moyenne géométrique.

En effet,

est un produit de n facteurs tigaux tels que dont la somme esl

ce produit est donc la plus grande valeur que puisse prendre le produit abc.l sans que la somme de ses

hctears cesse de conserver sa valeur; donc

PsosLÊME II. — Trouver le minimum d'une somme de ternies dont le produit est cotistant.

Nous considérerons d'abord deus termes n el i; nous aurons alors

Od voîl imniédiateDient que, ab étant constant, a + b sera cl''3Utant plus petit que (a — b) sera plus petit; si donc on peal prendre a=b, a-\-b sera minimum.

En raisonnant comme dans le problème précédent, on démontre racilemcnl que le minimum d'une somme de termes dont le produit est constant a lieu lorsque ces facteurs sent égaux ou ont entre eux des dijjérences aussi petites ijue possible.

pROBLÊUE III. — X -\- y -^- = -i- ■ ■ . est cotistant : trouver ie maximum de

Fifjcpressioii dans Uttjwdle m, n, /-, ... sont des nombres constants.

Il est clair que le maxiinum de J."'j" s''. . . a lieu en Knéme temps que celui de

l'expression précédente est le produit de

facteurs dont la somme est égale à x + i + r -4- . . . . c'està-dire constante; le maximum aura doue lieu quand ocs (acteurs seront égaux ou quand

On verrait de même que ces égalités consliluenl la condition pour que x-(-> ■+-■■. soil minimum quand x") " zP... est constant.

PnoBLÈME IV. — Trouver le cône maximum inscrit dans une sphère de rayon donné.

St l'on désigne par a le rayon de la splière, par x le rayon de la base et parj la hauteur du cAne, la quantité

qu'il faut rendre maximum a pour expression ^ T:x^y ou simplement x^y . Or on trouve facilement entre .r et y la relation

Si l'on remplace alors x^ dans l'expression à rendre maximum par la valeur que nous venons de trouver, elle devient

J'("-rl-

Or la somme des facteurs } , an — y est constante et égale à an; il y aura donc maximum [voir le problème préciîdent) lorsque l'on aura

COAPITIIE VU.

Pboblême V. — Trouver le ci à urte- x/théie de rayon donné a.

Soient X le rayoo de la base, y la hauleiir du cûne; la quantité à rendre Diinimum esl toujours

Si Ju centre de la sphère on abaisse une perpendiculaire sur l'une (les géDéralrices du cône, on oblienL uoe figure

dans laquelle deux triangles semblables qu'il est aisé

d'apercevoir donnent la relation

Si nous résolvons par rapport à .1

Ea multipliant par^- et en ayant égard a l'équation (1 ), il vïrnl

mum. Or cetle dernière expression peut s'écrire

|86 TRAITÉ D'iLGF.nRE.

Si l'on observe que — ; est constanl et que la somme des - 3i7 an I

Celte donnée sui'fit pour coiislrcire le cône minimum.

NOTES ET EXERCICES

t. On a employé deux ouvriers gagoanl des salaires différents : le promiur, ayant été payé au bout d'un certain nombre de jours, a regu g6 francs, et le second, ayant travaillé six jours de moins, n'a eu que 54 francs; s'il avait travaillé tous les jours, et que l'autre etll manqué six jours, ils aurdient reçu tous lus deux la même somme. On demande combien de jours chacun d'eux a travaillé et le prbc de sa journée.

2. On remet à un banquier donx biUeU sur la même personne, le premier de 55o francs, payable dans sept mois, le second de 730 francs, payable dans quatre mois, et il donne pour le tout uiie somme de laoo francs. On demande quel est le taux annuel de linlérûl d'après lequel ces billets ont été escomptés.

3. Dans quelle direction faut-il lancer une bille de billard pour qu'après deux réflexions elle vienne repasser par lo point de départ? On supposera l'angle d'incidence égal à l'angle de réflesion; on supposera le billard circulaire (dans ce cas la solution dépendra d'une équation du troisième degré dont on connaît à priori une racino, ce qui permet de la ramener au second); on supposera aussi le billard composé de deux bandes rectiliijines indéfinies [pour que le problème soit possible dans ce cas, il faut que l'angle des bandes soit aigu).

A. Trouver sur une droite donnée un point t«l que la somme des Urrês de ses distances à d'autres points donnés sur celte droite soit

cuapithb vu. 187

égal« a an nombre donné m. Discuter le problème ei dire quelle psl ta plus pvtile valeur que l'on paisse adopter pour m.

5. Tfxiuver sur une droite donnt^e Afl un point M l'pnlemenl édaindo deax lumières, d'intensités a et b, plact-ea on A et B respect ivemenl.

G. Trouver deui nombres connaissant leur moyenne arithmétique et Jear moycDoe géométrique. Conclure de la discussion que la moyenne ariilimétiquede dfux nombres est plus grande que leur moyenne géométrique.