Pdiit résoudre une iufcgalilé de la forme
on observe que nj'-t- bx -*- c est de même signe ou do signe coniraire à son premii;r terme selon que t psI compris en rieliors ou dans l'inlervalle compris entre les racines. Cela posé, résoudre les i Dégel i tés
)u montrer qu'elles ne peuvent pas être si 10. Résoudre l'iDégalité
On ne chassera pas le dénominateur; pourquoi serait-ce u.ie faute? On fera passer a dans le premier membre, et l'on sera ramené à résoudre une inégalité de la forme
Pour résoudre cette inégalité, on décomposera les deux termes de la fraction en facteurs du premier degré, si c'est possible. Si aucun des deux termes de la fraction n'est décomposablo en facteurs du premier degré, les racines de ces deux termes seront imaginaires, ces deux termes conserveront toujours le môme signe, et l'inégalité (i) sera ou toujours satisfaite ou toujours impossible. Si un seul terme a ses racines imaginaires, il conserve son signe, et l'autre terme change de signe quand x passe par les racines de ce terme égalé é zéro. Soient a, ^ les racines rangées par ordre de grandeur. Supposons a' et A positifs ; la fraction aura le signe h- quand x variera de — as à a, le signe — quand x variera de a à p, et le signe + quand x variera de p à -1- Œ . Si les deux termes de la fraction sont décomposables en facteurs du premier degré, en appelant a, p, 7, S les racines des équations Xx*-^^x + C = o, a'x ■+■ b'x -i- c'=r o rangées par ordre de grandeur, la fraction aura le signe de Âo' quand avariera de— œ âa, puis changera successivement de signe seulement pour x = p,-j, S.
Rfeoudre ainsi
11. Si CE -*- ^^ 6st racine d'une équation du second degré à coeflicienta entiers, x et |3 désignant des entiers et /^ une irrationnelle, a — \^ sera aussi racine de celte équation.
Toicî maintenant quelques questions de maximum que Ton résoudn par les procédés indiqués dans le texte.
lî. Haxima et minima de
13. Trouver le maiimum ou le mJniraum de Af + /'j- quand .rj est constant, de jy quand ax-t-bx est constant, de .c'-*-/' quand x/ an X -*- X est constant.
14. Une colonne verticale est surmontée d'une statue : trouver en qtuïl point du terrain, supposé horizontal, il faut se placer pour voir U statue 9ouâ un angle maximum fconstruction géométrique de cet kngle). Bésoudro le môme problème en supposant la gurrace du ternin sphérique.
15. Étant données deux paralléleâ AB et CD. une sécanlo AD et un t>olDt B sur l'une dVIle^, mener par le point B une sécante BC renooolrant AD en un point 0 tel que h somme des aires des triangles AOlt. COD soit minimum.
16. Trouver le trapèze de périmètre ou de surface maximum ou minimuin inscrit dans un demi-cercle, la grande base du trapèze coïncidant avec le diamètre du dcmi-cercle.
17. Étant donné un angle BAC et un poinl P situé dans son plan, faire passer par le point P une droite BC telle que l'aire du triangle ABCI foit un maximum ou un minimum.
18. Dans un trapèze, Iniis celés consécutirsso'il égaux;délenniner le quatrième cûlé, qui est ccnsiï être l'une des bases, de telle sorte que l'aini (la trB])èie soit maximum.
19. On inacrit un rectangle dans un firand cercle de la sphère; on prend ce rectangle pour base d'un prisme droit donl les pans découpent dans lo âphèro un quadrilatère curviligne : on demande comment doit être clioi^i lo rectangle pour que ce quadrilatère soil maximum.
ao. Trouver le cylindre droit à ba« circulaire do volume ou di> surrace latérale maximum inscrit dans un cône donna.
21. Trouver le tronc de cône de surface latérale maximum inscrit dans un hi^misphèro, l'une des bases du tronc étant le grand cercle qui sert do base â l'hémisphère.
Voici maintenant quelques théories facilitant la recherche des maxims et dts minima.
