On trouve facilement le maximum de
où a, b, c, a', b', e', m, n, /j sont donnés, au moyen do l'arlifice suivant. La quantité à rendre maximum peut être renqilacée par
a, ^, 7 étant indépendants do .x; si l'on dispose de a, p, y de telle .sorte
ce que l'on peut faire d'une inHuité do manières, la somme des facteurs de l'expression que nous voulons rendre maximum sera constante, et on la rendra maximum en posant
Ces deux équation.'i el (i) font connaître .r et les rapports -i -i que
l'on n'a pas besoin d'ailleurs de calculer.
Voici un exercice dans lequel on appliquera ce qui vient d'être dit.
23. Étant donnée une sphère, déterminer un petit cercle do telle sorte qu'en le prenant pour base de deux cAnes droits ayant leurs sommets sur la sphère la différence des volumes de ces cônes aoit maximum {vuir l'exercice précédent).
0ii*PiTnE vil.
' a*. On trouve facilement le minimum de y/j' ± a* -t- \/y :t 6' quand
= V reste constant; en élevant nu carré, on a è rendre
En remplaçant^ par sa valeur / — j, en élevant au carré et en faisant les roductioRS, on a une équation du sccdqiJ degré en x\ on In réaout et oo ^galo A zéro la quantité placée sous le laJical; on arrive ainsi â une équation du Imisiëme degré en m, mats qui se décompose facileawDt eo nnc équation du premier et du second det,-ré. Ainsi on reconnaU que m = dzab. Voici deux jolies a|iplicatioDS.
35. Trouver le pins court cljemîn d'un point à un autre en passant par une droite donnée située dans un métne plan avec les points
li joint les centres de deux cercles i:
"Sa. I rouv^r sur ui uroiie qui jomi les centres ui point Ici que In somme des tangentes menées de ce point aus deux eercte aoit maximum ou minimum (foirrexercicoSl}.
37. On a (*■+- «)*-*-(*— B)'">a^"' : en conclure que, si X- ' + Y"" est maximum pour X = Y. On a aussi
I peut en déduire une conclusion analogue. (Ce théorème a des apjilts nomlirouses et évidentes.)
t foule du questions de maximum se simplifient on s'aidanl de indurations syntbétiques ; en voici des exemples.
. Prouver pur Tancdyse que do tous les quadrilatères forméa avec latre celés donnés, le plus grand est ïnscriptiblo dans un cercle (on Mm bïTv usage de la Trigonométrie ) ; en conclure que, de tous les Itlygoncë que l'on peut former avec des célés donnés, le plus grand t àtscriptible dans un cerele.
prisme hexagonal régulier et droit. Soient AfiCDEF
ig3 TH\1TÉ d'algèbre.
une d9 ses bases, A'B'C'D'ET' l'aiilre (les sommets A,B,C,D",'6,P ee succëdeDi dans l'erdrealphabâliqueet lesarËlessont AA', BB', . . .). On joint AC, CE, EA ; on fait passer des plans également inclinés sur la base par ces droites AC,CE, EA; ces plans se coupent en un point » de la droite qui joint les centres dos bases el coupent les arêtes BB', DD', FF' en des points h,il,J. On demande comment il faut mener tes plans en question pour que lo solide jAÈCtfE/A'B'C'D'E'F' ait une surface latérale minima. [ Deux solides semblables, accolés par leur base A'B'C'D'E'F, forment précisément la Ggure d'une alvéole d'abeille.) (BuFros) (*].
30. De tous les polygones ayant le même périmètre et lo mémo nombre do cAtés, le plus grand est convexe et régulier.
31. A l'aide de l'application 22, on résondro encore ce problÈme : Étant donnée une spbère et un plan P, trouver le cône droit niinimiim ayant sa base dans le plan P et son aie perpendiculaire circonscril â la sphère. (Prendre pour inconnue l'inverse de la hauteur du cùne.)
32. Un quadrilatère inscrit dans un cercle a sos diagonales rectangulaires; le point de rencontre de ces diagonales est fixe : dans iiucllo position son aire est-elle ma\imumî
33. Trouver les limites des oxprossions suivantes pour j: = la-.
,/iîTT
,{,p^^,-,), i^yx'+i-,),
34. Inscrire dans un cercle un triangle de périmètre donné el d'airo maximum.
35. Toute section faite dans un tétraèdre parallèlement à deux arêtes opposées est un parallélogramme; do tous ces parallélogrammes quel est le plus grand?
(' ) BiFTon, sïiiB tue raalbâinatii-ieD, n [uît preuve de connuiâiuiaces eletiduei en Aualjie : il a traduil le Calcul des fiaxiavs de Newton, et ilani Mn Biitoire naturelle il a traité diverses quuitiun* relatives nu (Calcul di:s
probtbltllé*.
