I. — PBOesESSIOnS ABITEHÉTiaUES

On appelle progression aril/imclii/ui: une siiUe de termes dans laquelle chacun d'eux esL tigal au précédent augmenté d'une quantité constante positive ou négative que l'on appelle raisondc la progression.

Considérons la progression arithmétique

Soient r la raison et n le noi lar définition môme

; termes; on aura

On voit déjà, d'après cela, que le second terme b est égal au premier plus la raison ; le troisième terme c est égal au second b plus la raison, c'est-à-dire au premier plus deux fois la raison ; en ajoutant la raison à c, on trouve d : donc le quatrième terme est égal au premier plus trois fois la raison, et, en général, le n""" terme / est égal à a plus n — I fois la raison. On peut donc écrire

ce qui donne lieu au théorème suivant :

Thëoiièhe I. — Dans toute progression, un terme quelconque est égal au premier [et l'on peut prendre pour

:il\PtTRR VIII, 19^

lier terme celui que l'on veut ) plus autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui.

Problème. — Trouver la somme des termes d'une progression arithmétique.

Désignons par s la somme des termes de la progression (i). Nous auroDSj en conservant d'ailleurs les mêmes notations que tout à l'heure,

Nous pouvons aussi écrire, en renversant l'ordre des

nota tic

\ou lerates

Or la suite l, k, . . ., c, b, a peut être considérée comme une progression arithmétique a^ant pour premier terme / et pour raison — ;■. Si l'on considère alors les i'*""" termes des progressions (1) et{a), on trouve respectivement pour leur expression « -t- 1 — w et / — i — w; leur somme est donc « 4- /. Il résulte de là que, si l'on ajoute les lorcaulcs(i) et (3) terme à terme, la somme des termes de même ranç sera toujours a -|- /; on peut donc écrire

'eal-à-dire

rnmiule que l'on peut encore écrire ( g remplaçant / par sa valeur a -i- n — i /■ :

La formule (3) montre que :

TstoRkME U. —^ La somme des termes d'une progrès-

tg6 TRAITÉ d'algkbbc.

sion arithmétique s' obtient en ajoutant les termes extrémei

et en multipliant le résultat par la moitié du nombre des

termes.

Applicatious. — Les entiers successifs forment une progression arithmétique dont la raison est i . On a donc ici a ^ 1 , /' = 1 , et, en di^signant par s la somme de // entiers consécutifs commençant par i,

Les nombres impairs forment aussi une prngression arithmétique. La raison est a, le «'*""' nombre impair est i-l-/i — 1.2 ou 2« — I, et l'on trouve, pour la somme des a premiers nombres impairs, u-.

a. — DES FBOSBESSIOHS BÉOMËIBiaUES.

On appelle progression gàométriijue une suite de termes dans laquelle chacun d'eux est égal au précédent multiplié par une quantité constante, que l'on appelle raison de la progression.

Considérons la progression géométrique

Le second terme b est égal au premier multiplié par la raison; pour avoir le troisième terme c, il faut multiplier b par la raison, ou, ce qui revient au même, multiplier a dcus fois de suite, par la raison; on verrait de même que, pour avoir le quatrième terme, il faut multiplier le premier trois fois de suite par la raison, et d'une manière générale :

Tbéokèmb L — Un terme quelconque d'une progrès-

tion géométrique s'obtient en multipliant le premier autant de fois par la raison qu'il j a de termes ayant

Il résulte de là que, en désignant par q la raison de la ses termes peuvent s'écrire de la manière

nivante :

a, fiq, a(j', ..., aq"~'.

Si DOus désignons par^ la somme des termes de celle progression, nous pourrons écrire

Or, si l'on se reporte au Chapitre 111, p. \o, on reconklt immédiatement que la quanlilé écrite entre paren- ^ses n'est autre chose que le quotient de ^'' — i divisé

rtf — t , en sorte que l'on a

ieue formule peut encore s'écrire

On peut uouver la quanlitt'- ,* d'une autre manière, > observant que

TBMTE n ALGEBRE.

lirSEBTIOn DE HOTEHS.

Insérer des moyens enlre deux oombres a et b, c'est trouver des nombres compris entre a el b el obéissant à certaines lois. Ainsi 1

Insérer m moyens arithmétiifues entre deux nombres «0 et iïin+(, c'est trouver m nombres n,. "ï dm tels que

forment une progression aritbmcliquc. Pour résoudre cette question, il suOil de trouver la raison; or, a„,^, étant le »i-t-a"°"' terme (puisque entre «o eta„^., il y en a m), il est égal au premier Ug plus m ■+■ i fuis la raison j:. On a donc

d'où l'on tire la raison

La raison une fois

Insérer m mo) eus géoméCrii/ues entre «n el im+ii c'est trouver m nombres a,,ai, . . . ,nm tels que la suite

soit une progression géométrique.

Soit ,r la raison de la progression inconnue ; a,a+\ est le m -h a'*™" terme de celte progression. Donc

CtlAPITRE ÏILI.

d'où l'on tire

-V'îf-

La raison une foi, conoae, on .

aHELatlES THËORÉKES 8UB 1 DBS HOHBBES.

LES FinSSUCES ^^^|

Lemmb. -

— Soif m un nombre enliei

'■ plus grand que i , ^M

z un nombi

•e plus grand que zéro; or.

Fn effet, on

donc la formule (i) esL vérilîée pour 'i

1 ^ a. SupposODS-la H

vraie pourn

T = /I ; démontrons qu'elle est encore vraie poui |

Si l'on a

Kn multiplia

inl les deux membres par

fl

Hfol-è-dire

. nforliwi.

P^ formule

{i) subsiste donc pour m :

= H + i. Or elle est

vraie pour

m = a : donc elle l'est poi

JF m^ 3, puis pour

«=4.elc.

; donc elle est générale.

™ TetonfeME I. — Les puissances suc.

ccssii'es des nombres

300 TnitTÉ d'algèbre.

plus grands que i vont en croissant et peuvent dépasser

toute limite.

En eOet, tout nombre plus grand que i pcul titre représenté par i-t-«, et l'on aura, en appelant n un entier quelconque,

La formule précédente montre que, en prenant ^i sulïisaininent grand, (■ + «)" pourra élre pris plus grand que toute quantité donnée; du reste, il est bien évident que

Théouiîme 11. — Les puissances successives des nombres moindres que i vont en diminuant et om zi-ro pour limite.

En effet, loiil nombre moindre que i peut élre considéré comme le quotient de l'unité divisée par un nombre (i-f- a) plus grand que i, et alors le théorème que nous venons de démontrer rend celui-ci évident.

Théorème III, — Les racines successives des nombres plus grands que i vont en diminuant et ont l'unité pour • limite.

En effet ; i" a désignant un nombre plus graud que i,

donc évidemmenl

a" Je dis que l'on peut toujours prendre n assez grand pour que

CH4PITBB ÏIII.

ri désignant une quantité aussi petite que l'on voudra. Ep ' effet, de l'inégalité précédente on déduit

or (théorème I)

I Si donc on prend

% Jorliori l'inégalité (a) sera satisfaite, et par suite (i); Epour salii^raire à lu question, il suffit, comme on voit, de ttreodre

! qoî retient à dire que la racine h'*°" de n a pour li- Ûle I lorsque n augmente indétiniment.

MjBÊMB IV, — Les racines successives d'un nombre Mtndre yue i t>o/U en croissant et ont l'unité pour li~ \ite.

Ce titéorùinc est une conséquence du précédent.

— DE8 PB08BESSIOXS GËOHËTBIftlIIS DÉGBOISSAUTGS.

Soit