I- rt

ne somme de termes en progression géométrique; celte yMinme est égale, d'après ce que l'on a vu, à

Supposons ? <Ci-

loi TRAITÉ d'ALGÉBHG.

1° Les termes de la progression géométrique qui sont les produits de a par les puissances successives de q ironl en décroissant et tendront vers zéro, en vertu du Uiéorème II du paragraphe précédent.

, puisque 9" tend

ira en croissant et aura pour limite vers zéro. Ainsi :

TaÉonÈMB. — La limite de la somme des n premier termes d'une progression géoméirii/ue dont la raison es moindre t/ue i quand n croît indéfiniment est égale ai premier terme divisé par la différence entre la raison e l'unité.

Exemples :

a" Une Craction périodique telle que o,3535,.. est égale a la somme des termes d'une progression géométrique :

[,oo}> [■oo)' r 35

sa valeur est ; — =; — 1 ce que l'on savait déjà.

Au fond, la démonstration donnée en Arilhméiique esl

identique avec celle-ci.

- DÉFlHITIOll D'DB STSTÈHE DE LQOAfilTEHES.

Si l'on considère deux progressions, l'une géoméirique commençant par l'unité, l'autre arilbmétique commençani

chaque lerme de la progression arilbmétique esl ce que, d'après Neper, on appelle le logarithme du terme de même raog dans la progression géomélrique : ainsi nr esl le logarîtlmie de i/".

On pourra, comme Ton voit, lormer, en variant les raiftODs (/ et I', une infinité de systèmes de logarithmes.

Voici une propriété du système (i) et (2) qui va faire comprendre toute l'importance de la théorie qui nous occnpe. Soient y" et y" deux termes de la progression géométrique, mr et nr les deux termes correspondants de la progression arithmétique; le produit q"'»i"^= ^m-h» gg[ m, terme de la progression géométrique; le terme correspondant de la progression arithmétique est [m-h'i)r on mr •+- nr. On voit donc que :

I Théoiiéme. — Le logarithme d'un produit est égal à HSb somme des logarithmes de ses fadeurs.

1 Théorème eilrémemenl important. On conçoit en effet qne, si tous les nombres avaient des logarithmes connus, on pourrait au moyen de ce théorème convertir les multiplications en additions. Nous allons montrer qu'effectivemeot oD peut l'aire en sorte que par une généralisation convenable de notre définition tous les nombres acquièrent

I des logarithmes.

Tout d'abord nous supposerons nos progressions (i) et *£*) prolongées vers la gauche et écrites sous les formes

joj TiHITE D ALCGBRB.

alors, en supposant {ce qui esl conforme à l'usage) if'^i, r^o, nous voyons que les logarithmes des nombres moindres tfue i seront iit-gatifs. Cela posé :

Théoiieue I. — Si l'on insère entre deux termes conséculijs de la progression (i) un nombre suffisamment grand de moyens, la nouvelle raison différera aussi peu que l'on voudra de l'unité; si entre les termes correspondants de la progression (a) on insère le même nombre de moyens, la raison de la nouvelle progression sera rn même temps aussi peu différente de zéro que l'on voudra.

En effel, les raisons des nouvelles progressions seront respectivemenl

Or ces deux quantités ont respeclivement pour limites i cl zéro (p. 201); donc, etc. c. g. f. n.

TnâonÈMK II. — Désignons par i -\- a la raison de la nouvelle progression géométrique, par |3 la raison de la nouvelle progression arithmétique; k et ^ pourront, comme nims avons vu, être pris aussi petits que l'on voudra, et, lorsqu'ils seront sujjisamment petits, la différence entre deux termes conséculijs des nowelles progressions pourra être prise aussi petite que l'on voudra.

Soient (i + a )", { i -t- a )"+' deux termes conséculU's de la progression géométrique; leur difTérence est

Je dis que l'on peut prendre a asse?, petit pour que

S désignant une quantité aussi petite que l'on voudra. En

CHAPITHE VIII.

ffet, l'ùiégalité précédente peut s'écri

I Prenons alors non-seulement « < cî, mais encore

l'inégalité {4} sera alors satisfaite ajor/iori. et par suite l'iné^liié (3), ce qui démonlre le théorème que nous avions énoncé relativement à la progression géométrique. La différence entre deux termes consécutifs de la progression arithmétique a pour expression générale

ell« peut donc être prise aussi moindre que toute quantité donnée.

II résulte de ces théorèmes que l'on pourra toujours insérer entre les termes des progressions (i), (a) un nombre de moyens asse» grand pour que la différence entre un nombre donné N et un certain terme de la progression soit moindre que $. Soit (i -H «)'' le terme de la progression géométrique le plus voisin de N; n^ sera le terme correspondant de la progression arithmétique ; np sera alors le logarithme de N à Ci près. Or, n croissant in<lé(îniment,îîi tend vers zéro et n|3 vers une certaine limite qui est le logarithme de N.

La ibéorie précédente montre la possibilité de la construction d'une Table donnant les logarithmes de tous les E nombres avec telle .-ip|) rôti ma lion que l'on voudra.

I TH. ~ FBOPBIÉTÉS DES LOSABITBMES.

Le logarithme d'un produit de detix facteurs est égal à ta mmme des logarithmes de ces facteurs.

En effet, soit NN' un produit de deux facteurs s'ils ne font pas partie de la progression géométrique ( i ) du paragraphe précédent; soient v et v' les nombres de celle progression les plus voisins de N et N'. On aura

logï

-lo-

= logw

d'après ce que nous avons vu plus haut. Mais, si l'on suppose que les progressions (t) et (a) soient remplacées par celles que l'on obtient en insérant des nombres indéliniment croissants de moyens, v et v' se rapprocheront de N .etN',el vv'de NN'; log v, log v' etlogvv' tendront alors vers ce que nous avons appelé log N, log N' el log NN'. La formule (5) deviendra alors

logN + IlIgN'^: IllgNN'. C. Q, F. D.

De là découlent les théorèmes suivants:

Théouème i. — Le logarithme d'un produit d'un nombre giielconrfue de /acteurs est égal à In sotnme des logarithmes de ses facteurs.

En effet, soient a, b, c, d des facteurs ; on a

!og[icf/)= iog6[r;/) =^l(igft J- iiigct/.

loge,; =r loge -Hbgrf.

On en conclut

lng(a6cJ) = Inga -i- log6 + Ingc + log J. c. q. f. n.

I Théorème I au logaritJm diviseur.

. — Le logarithme d'un quotient est égal ' du dividende moins le logarithme du

En effet, soient D le dividende, d le div

-, , le qu,

3IL On a i d'où lel par suite

ciiAfirnE VIII.

D = dij,

logD = log,/-Mog9,