CHAPITRE PBBHIEB

— (a — p)8ÎaX3; on doit donc, dans le premier cas, ajoDler^ — «à N, ce qui revient à lui retrancher «,puis ft lui ajouter j3, et dans le second cas lui retrancher a — p, ce qui se fera en retranchant tt et en ajoutant |B au résultat : donc, en tout cas, la formule (a) est exacte. La rormule(3) revient à(a),car-4-a — (3 = — (3-f-« d'après la définition même de l'addition de deux quantités, définition dans laquelle l'ordre n'intervient pas. Enfin, la formule (4) se démontre en observant que — « — fî est égal à — («-t- P) et qu'ajouter — («-t-{3) à une quantité positive plus grande N, c'est en retrancher a + (3, ce qui donne

Remarque. — Il est indispensable de bien observer qua les lemmes précédents, évidents si a, h étaient des nombres, ne le sont plus si a, b sont des ijnantitës algébriques. En ce moment, nous ne prenons pas dans son acception ordinaire le mot ajouter; d'ailleurs, il s'applique à autre chose qu'à des nombres, de sorte qu'une démonstration est nécessaire pour établir des faits <jui seraient de toute évidence si a, b étalent des nombres et si nous avions conservé ■u mot ajouter son sens vulgaire.

THiOBÈm I. — Une somme ne change pas de valeur quand on intervertit l'ordre de ses parties.

Considérons, en effet, la somme a-h b -i- c-hd. Soit N un nombre positif assez grand pour que N surpasse les sommes que l'on peut faire avec a, b, c, d en les prenant I à I, 3 à 3, 3 à 3 et4 à 4> dans un ordre quelconque; nous aurons, en vertu de notre lemme II,

Ki) = N + (o + 4 + «| + J

mais il est clair <juc, quels que soient tes signes de a, b, c, oo a, par exemple,

(chacune des opérations indiquées étant arithmétiqi ment possible et l'addition d'une quantité négative re\ nanl toujours ici à une soustraction); donc aussi

îiA-[a + l'-t-c^d] = TS-h{b-i-U-i-c-ha],

et, en vertu dn lemme I,

a + /.-i-c-hd = b-\-d-\-e + a.

Le théorème est donc démontré.

Théorème II. — Pour ajouter une somme à une tfuai tité, il suffit de lui ajouter successivement chacune de si parties.

is d'ajouter a-\- b + c à P , 1

En eOel, propoï résultat sera

Mais on peut supprimer la parenthèse dans cette dernier formule, car elle exprime qu'au résultat obtenu en ajou tant £ à (I et c à la somme ainsi obtenue il faut encor< ajouter P, ce qu'exprime également le symbole

que l'on peut aussi écrire

hô + c

en vertu du principe précédent; donc, etc. c. q. f. d.

Tbéorehe III. — Une somme algébricjue peut s'obtenir en ajoutant séparément les quantités de même signe, en

CHAPITHB PRËlUIEn.

rj^isant la différence des résultats obtenus et en donnant I à cette différence le signe du plus grand-

a -^ h ~ c + d - f= n -^ h -^ d — c —f, l'èt, en vertu du prÎDCÎpe précédent,

Ice qui démontre le principe en question.

Théohèhe IV. — Pour changer le signe d'une somme Moigéhriquc , il suffit de changer le signe de chacune de mies parties.

En elTet, pour faire la somme de plusieurs quantités, on

(fkjoule les quantités de même signe, on fait la différence

des résultats A et B, on donne à cette différence le signe

Idu plus grand de ces deux résultais. Or, en changeant les

Lsignes de tous les termes de la somme, on change les signes

e A et de B, et par suite le signe que l'on doit donner à

teurdilTérence, qui est la somme algébrique en que.stion.

nr.

SOnSTUCTIOH.

La soustraction algébrique est une opération qui a pour int, étant donnée une somme et l'une de ses parties, de fODver l'autre, que l'on appelle reste oa différence.

Théomhb. — Pour soustraire une quantité algébrique d'une autre, il suffit de l'ajouter à celle-ci en changeant ,,lon signe.

En effet, soit à soustraire — ^ de «ipar exemple; je dis gae le résultat sera a + ^ (les signes de «c et ^ sont censés

en évidence). D'abord il est facile de vérifier que a + est tel, que si l'on y ajoute — ^ on retrouve a; en effi a-f-p — pest égalàj3 — p -(- oi, c'est-à-dire à o -(-» ou à La même vérification se ferait pour d'autres combinaiso de signes.

Il reste à prouver qu'il n'existe pas d'autre nombre q a -(- (3 ^= 7 tel que si l'on y ajoute — (3 on retrouve « ; ce fi est facile â établir. En effet, supposant par exemple y p sitif, il n'est pas possible qu'un autre nombre positif donne 5 — j5 ^y — J3, car les différences des valeurs a solues de d et p, de y et p ne peuvent être les mêmes â ely sont tous deux plus grands ou tous deux plus peti que p; s'ils sont l'un plus petit, l'autre plus grand que ce seront les signes des résultats qui seront différents.

On voit de même que a -f- p ne saurait étr« négatif égala — J, car — S — 13 serait pins grand en valeur absoli que y — j3.

T. — HlILTIPUCiTIOIl ET DIVISIOll.

MuLTiPLic&TioM . — Multiplier algébriquement une quai tité par une autre, c'est faire le produit de leurs valeu absolues et donner au résultat le signe -t- si elles ont même signe et le signe — si elles sont de signes contraire Les dénominations de multiplicande, multiplicateur, Ja leurs, produit s'appliquent à la multiplication algébriqt comme à la multiplication arithmétique.

On donne quelquefois la définition de la multiplicalto sous forme de règle, en disant d'une manière abrégée qu

-h multiplié par 4- donne -i- ,