CHAPITRE PHEIIIER. Il

C'est en cela que consiste ce que l'on appelle souvent la e des signes; d'après celte règle, on voit, par exemple, — 7 multiplié par + 4 donne — a8, que — ^ 5 multiplié I par — d donne + 3o, etc. Lorsqu'une seule lettre désigne ; quantité avec son signe, on exprime que plusieurs [ <{uantités doivent être multipliées entre elles en les sépaj ranl par le signe X, par un point, ou encore en les écri- [ Tant sans aucun signe les unes k la suite des autres ; ainsi

a-X. b :< c, a.b.c, ahc

sont trois notations qui indiquent que l'on doit multiplier la quantité a par b et le résultat par c. Quand un des facteurs est un nombre positif et l'autre une lettre, on ne met ordinairement pas de signe entre le multiplicande et le mulliplicateur. On conçoit que cette convention ne saurait s'appliquer à plusieurs facteurs numériques d'un même produit: en effet, 33, par exemple, offrirait un sens ambigu et représenterait également les deux nombres 6 et (20 + 3).

Division. — La division algébrique est une opération qui a pour but, étant donné on produit de deux facteurs appelé dividende et l'un de ses facteurs appelé diviseur, de trouver l'autre appelé quotient.

Le quotient de deux quantités algébriques est égal au quotient de leurs valeurs absolues précédé du signe •+■ si elles ont te même signe et du signe — si elles sont de signes contraires.

Le quotient doit être tel que, multiplié par le diviseur, il donne le dividende; donc sa valeur absolue multipliée par la valeur absolue du diviseur doit donner la valeur absolue du dividende, donc la valeur absolue du quotient doit être le quotient des valeurs absolues du dividende et Il diviseur.

Si le dividende et le diviseur sont de mêmes signes quotient doit avoir le sigae + , car, s'il avait le signe — diviseur multiplié par le quotient donnerait un produit a le signe — - si le diviseur était positif et avec le signe -4 le diviseur était négatif, c'est-à-dire en tout cas de si( contraire au dividende ; le signe -i- est au contraire par temcnt admissible.

On verrait d'une fa^'on analogue que, le dividende ei diviseur étant de signes contraires, le quotient doit por le signe — .

Le quotient de a par b se représente, comme en Ari métique, par l'une des notations

Théobëme I, — Un produit ne change pas de valt quand on intervertit l'ordre de ses facteurs.

En effet, ainsi sa valeur absolue ne change pas, car e est égale au produit des valeurs absolues des facteurs; qu: au signe, il est en tout cas + si les facteurs négatifs s( en nombre pair et — dans le cas contraire. En en"et, le sig des produits partiels successifs change chaque fois q l'on rencontre un facteur négatif.

TnÉonÊME II. — Pour multiplier une quantité al^ brique par un. produit, il suffit de la multiplier succi sivement par chaque facteur du produit. {Même dëmc stration qu'en Arithmétique.}

Corollaire. — Le produit ahcdef peut s'écrire à v lonté

ab[cd^)f, {ab]c[J^f], ae(Wç/-)

THËoitÉME III. — Lorsque l'on multiplie le diuident

CHAnTBB PBBXIEH. |3

d'une division par une certaine tjuantité, le quotient est muUiplié par cette quantité.

En eflet, soient D le dividende, d le diviseur et ^ le t auotîenl, OD a

en multipliant par m les deux membres de cette égalité, un trouve

Dm = f/çm.

Cette égalité montre que d multiplié par i/m reprodoil Dm ; donc fn est le quotient de Dm par d; donc, etc.

■ TetoKèMB IV. — Lorique l'on multiplie le dîweur par un certain nombre, le quotient est ditdâé par ce nombre.

En effet, en coiuenant U m^ine notalioD qœ tout 1 rbenre, l'^alité

peni s'écrire

Es effet, — est une quantité qui moliipliée par m repfodnil q; donc, multipliée par dm. elle reproduira (2f ; donc enfin D est le produit de deux facteurs dm d — i ce qui rrricnt à dtre que — est le qutilieul de D dirisé pardm.

t V. — Lorsque l'on muilipUe le dividende et le difiteur par une même quantité, le quotient ne change

En effet, en cooECiruit taayoan les mêmes notaûoiu,

ce qui démonlre que tj est aussi bien le quotient de D visé par d que le quotient de Dm divisé par dm.

TuéonÊMB VI. — Pour diviser un produit par l'un ses facteurs, il suffit de supprimer ce facteur.

En efTet, le réeultat ainsi obtenu est tel, que, multip par le facteur eu question, il redevient égal au prod proposé.

THÉoBfeME VII. — i" Quand on divise le dividende p une certaine quantité, te quotient est divisé par cette qui tité; a" quand on divise le diviseur par une certaine que tité, le quotient est multiplié par cette quantité; 3" enfi quand on divise le dividende et le diviseur par une méi quantité, le quotient ne change pas.

Ces principes deviennent évidents si l'on observe q'

diviser par m une quantité, c'est la multiplier par -- I

effet, en désignant par A une quantité quelconque, si l'i

multiplie le produit A X — par m, on a

AX-Xm=- XmXA.

Or — X fi est évidemment égal à i , car, par définitio

même, — est un nombre qui multiplié par m donne i ; o a donc

A X - X ni = A

CH*HTRE PREMIGII. lï

Ainsi 1g produit de A par — , multiplié par m, donne A , donc Ax — est le «guotienl de A divisé par m.

Xhëobehb VIII. — - Pour diviser une quantité par un produit, il su/Jit de la diviser successivement par chacun des fadeurs du produit.

En effet, proposons-nous de diviser A par abcd. Divisons A par a, soit q le quotient; divisons q par b, soit y' le quotient; divisons q' par c, soit y" le nouveau quo- I tient; enfin soit q" le quotient de la division de tf par d, I on aura

At^ ag. q ^ liq', q' =^ cq" . q° -- dq' . Ea maltipliant membre à membre ces égalités, on a Kqq'q' ^abcàifq'q'q' .

en divisant par y, par ^ et par tf les deux membres de celte égalité, on a

L ce qui prouve que y™ est le quotient de la division de A par abcd.

EXERaCES ET NOTES.

Noud ne proposoroos pas d'Exercices sur le Chapiire que l'on vieni de liru; nous duus bomuroos à donner ici, mtu louiez rèterrei, quelques Dotium historiques sur les comme ocemcols de l'Atgêbre.

L'hiittiire de le partie élénieutaire des Mathématiques est très^îfficilc 1 faire, ï cause de la rareté des vieux livres, de la difficulté que présente leur lecture et du temps qu'exigt' celte lecture; peu d'ërudiis «OBODt livrés à culte branche ardue des coonaissancea buti)aiDee;8Uâsi

est-ce tous toutes réserves que noua allons donner les docnmenlb i vanls, en nous appuyant do l'autorUi d'un homme trés-énidii considéré comme compétenl.

D'apros Olry Terquem [Bulletin lies Sciences mathématiques) :

La première apparition des signes -i- el — a lieu dans un Ouvr intitulé : Die ciisz Chrislorfs Radolfs, mit schùnen Exempeln der i durrh Michaet Slieffel, gebesscri tind sehr gemelirt i S7 1 . — Le si ^ est employé dans cet Ouvrage.

Les signes -1-,— sont dus à Rudolf {iSï4)-

Le signe = est dd à Robert Recorde ( 1 557] [ Descartes se servait signe B el Rudolph du point).

Les lettres pour représenter les nombres ont été imaginées Viète (1Ï40 à i6o3), mais Vièle n'employait que tes majuscules; minuscules sont de Thomas Harriot. Harriol a autisi imaginé signes >, <,

Les parenthèses et les crochets sont dus à Albert Girard.

Le point comme signe de multiplication est de Leibnilz, ainsi que signe :.

La barre de fraction se trouve dans Léonard de Pise, Fibonac elle est probablement duo aux Hindous

Le signe >: est de Oughtred (Clav s nathcn t a i63i]. Mie SlJeiïel n'emploie aucun signe; pour lu b equ aul à u x é (1S4,

La règle des signes est indiquée dans Diopl anle qui emplois qu quefois le V renversé comme signe d add t on