I. — DES ASRAHfiDISirtS

On appelle arrangements de m objets pris n S n les Esnltats obtenus en prenant n de ces objets de toutes les

inières possibles, de telle sorte que deux quelconques B ces résultats diffèrent soit par les objets dont ils sont composés, soit par l'ordre de ces objets.

Proposons-nous de trouver le nombre des arrangements de m objets pris n à n, nombre que l'on désigne habituellement par le symbole A^. A cet effet, supposons que l'on connaisse le nombre des arrangements de m objets pris I k j, ou A'„ ; si l'on veut former les arrangements de m objets pris 1 -t- I à (' -h I , il faudra ajouter successivement k chaque arrangement des m objets pris i à i les m — i objets qui n'y entrent pas. On formera ainsi m — i noa-

2 TRAITÉ D^ALGÉBaB.

veaux arrangements avec chacun des anciens, c'est-à-dire en tout Aj„ (m — i) nouveaux résultats.

Je dis : i° que tous ces résultats sont des arrangements différents, car ils diffèrent, soit par l'arrangement composé de i objets qui a servi à les former, soit par le dernier objet ajouté; a^ qu^un arrangement quelconque composé de i 4- I objets s'y trouve, car, si à cet arrangement on enlève son dernier objet, on retrouve un arrangement de i objets. Or, comme ils ont été tous employés, l'arrangement composé de i -h i objets se trouve parmi ceux que nous avons formés ; on a donc enfin

Si l'on observe alors que A^ est égal à m et si dans la formule précédente on fait i = i, ?., S, ..., n — i, on trouve

AJ, = /7i(w — i), A,'„ = Aj,(/7i— 2)

et, en multipliant ces égalités membre à membre, puis en supprimant dans les deux membres de la formule résultante des facteurs égaux,

n. — DES PERHUTATIOnS.

On appelle permutations de n objets les résultats obtenus en disposant ces n objets les uns à côté des autres de toutes les manières possibles.

Proposons-nous de trouver le nombre des permutations de n objets; désignons ce nombre par ?«(*). Supposons

(*) On désigne quelquefois ce nombre par le symbole /il.

que l'oD sache Tornier le nombre P, : à chaque permutalion de i objets ajoutons un nouvel objet, en lui faisant occuper successivemenl la première, la seconde, ■■-. la i-)-i'*"' place; on iVirmera ainsi (i -(- i )Pi résultais différents, soil par la permutation de i objets qui a servi à les former, soit par le rang occupé par le nouvel objet. En second lieu, une permutation quelconque de i + i objets fïit partie de celles que l'on vient de considérer, car, en lui enlevant le dernier de ses objets, on retombe sur une des permutations de i objets, permutations qui ont été toutes employées. On a donc

. En faisant successivement «'=^1, a, .... n — i clcn ob- Itiervsnt que Pt est égal à i , on a

P,=;1.2. Pii-P,.3, .... P„ = P„i./I,

[ et par suite, en multipliant ces égalités membre à membre,

On peut remarquer que

Et, en elTel, si dans la formule trouvée page 2 ou fait :n, on trouve

m. — SES COHBDâlSOKS.

Od appelle combinaisons de m objets pris n i n les résultats obtenus en prenant n de ces objets de toutes les BUiicres possibles, deux résultats différant seulement par

i TRAITÉ d'algêbue.

la nature des objets qui enlreut dans chacuD d'eux et non

par leur ordre.

Désignons par C^, le nombre des combinaisons de m objets pris i à i; pour former les combinaisons de m objets pris t + ( à t -l- r , on peut, k chaque combinaison composée de i objets, ajouter chacun des m — ï objets qui n'y entrent pas. On obtient ainsi C'„ x{iti — i) résultats qui contiendront toutes les combinaisons formées de 1 + t objets, puisque, en retranchant un objet à l'une des combinaisons formée de i + i objets, on retrouve une combinaison formée de ('objets, et que toutes celles-ci ont été employées; mais les résultats que nous obtenons de la sorte ne sont pas tous différents. En elTet, si nous considérons l'un quelconque d'entre eux, quel que soit l'objet que l'on en retranche, on retombe sur une combinaison différente formée de i objets; une combinaison quelconque

i donc

par

de m objets pris

notre procédé de i + 1 manières différentes, en sorte

que Ç'u,{m — i) représente i -f-i fois C'^'. On a donc

d'où l'on conclut, en faisant i =^ i , 2, 3,. . . , n — i, et en observant que le nombre des combinaisons de m objets

d'où l'on conclut

On voit, d'après ce qui précède, que

Celle formule peul du reste se démontrer direclcmenl en observant que les arrangements de m objets pris «an peuvent s'obtenir en permutant les n objets de chaque combinaison de m objets pris n à n, de toutes les manières possibles. On a donc

a: = c,';, xp„

d'où l'on déduit la formule précédente, et par suite, si l'on veut, la formule (i).

Si l'on adopte la notation ni pour représenter le produit 1 .3.3. . ./i, ta formule (i) peul encore s'écrire

IT. — BOURBUSS iO BtriCT DES TEÉ0BIE8 FBËCÊDCnTES.

Problême 1. — Concevons qu'après at'oir formé les ^vrangemeiits de m lettres prises n an on suppose i Je ces idenlii/ues à a, j de ces lettres itientiijiies à b, etc. : léitrn uhtiendra-l-on de résultats différents?

Supposons d'abord qu'il n'y ait que ï lettres iden-

t** Les arrangements où a n'entre pas seront tous diflérents : ce sont les arrangements de ni — i lettres prises n kn\ leur nombre est A^( ou

ta" Les arrangements où a entre u us dilTcrcnts : si nous voulons en

! fois seront encore mnaîLre le nombre,

6 TBAITi D'ALGCBBIt.

considérons les combinaisons correspondantes; 6toas a, nous aurons les combinaisons de m — i lettres n — i à/i — i. Si dans chacune de ces combinaisons nous permutons les a lettres cjui y entrent y compris a, nous aurons PnC^,l',

résultats diffc^rc

3° Les arrangements où a entre deux fois ne seront pas tous diti'érents; si nous ôtons deux fois a et si nous considérons les combinaisons correspondantes, elles sont en nombre C";', et, si nous permutons les lettres qui y entrent en y comprenant deux fois a, nous aurons P^C^"' résultats qui ne seront pas tous dilféreuts, car, en permutant les deux lettres a dans chaque combinaison, on ne

sullats difTérents, etc. Le nombre cherché est donc

Supposons maintenant qu'il y ait i lettres égales à a, y lettres égales à h.

Le terme général de la quantité cherchée sera le nombre des arrangements dans lesquels a entre fi fois et b v fois. Il est facile de voir que ce nombre est

en sorte que le nombre des résultats cherchés est

ft et V restant toujours moindres que i et j, etc.

Problème II . — Trouver le nombre des permutations dîfférentei que ton obtient en supposant un certain nombre de lettres identiques dans les permutations de n lelties.

Pfl lïtant le nombre des permutations de n lettres, sî> 1 parmi ces lettres il y en a t identiques à a, il est clair; j qu'en permutant ces lettres a on aura des résultats identiques; les permutations P„ se partagent en groupes de P; | permutations identiques : donc les permutations essentiellement didérentes se réduisent au nombre de Pg, : P, quand i | lettres deviennent identiques à»; si, en outre, y lellrea deviennent identiques à />, le nombre des permutations I

distinctes se réduira à ™-i etc.

Problème 111. — Trouver ie nombre des résultais dîf^ \ férenls obtenus en supposant, dans tes combinaisons da m lettres prises n à n, i lettres identiques à a, j lettres identiques à b.

Considérons une combinaison dans laquelle a entre fifois, b V fois, etc.; supprimons les lettres a et A de cette combinaison, nous trouvons une combinaison de m — i — / lettres prises n — u — v à n — ft^v; donc le nombre des combinaisons distinctes où a entre fi fois et £ v fois «si CJ^y, d'où l'on conclut facilement le nombre cberché.

T. — rOHinilE DU BHOMS.

On appelle yo/mu/fi ila binôme celle qui fait connaître le développement d'une puissance quelconque d'un bi~ Ji6me. Celte formule (dans le cas où l'exposant de la puislance est entier et positif) parait avoir été connue bien avant Newton, on la trouve dans les Œuvres de Pascal. On peut consulter à ce sujet : i" l'article GinAme dans le Pictionnaire des Mnthcmntitiues de Montferrier; a" un article de M. O. Terquem, inséré dans ses Nouvelles Annales, Vi ; 3° enfin, X Histoire des Malhématiques de Monlucla.

Voici commeat on peut

l'analyse combinatoire

Multipli

river à celle foroiule à l'aide de

entre eux les bindmes

Poor faire ud produit de deux polynAmes, on multiplie chaque terme du multiplicande par chaque terme du multiplicaleur; en d'autres termes, le produit de deux polynômes est la somme des produits obtenus en prenant pour fadeurs un terme dans chaque polynâme de toutes les manières possibles.

Le produit de trois polynômes est égal à la somme des produits obtenus en prenant pour facteurs un terme dans chaque polynôme de toutes les manières possibles, et ainsi de suite (t. I, p. a4^'

Cela posé, le produit que nous cherchons est égal à ta somme des produits obtenus en prenant pour facteurs un terme dans chacun des binômes {x + n),(x-t-i), ... de toutes les manières possibles. Prenons d'abord x dans chacun des m binômes en question, nous formons le terme x"", prenons ensuite x dans m — i binômes el le second terme dans le /h'*"» binôme restant; faisons cette opération de toutes les manières possibles, la somme des termes ainsi obtenus sera x'""' (n -t- />-i-. . . -t-/), que l'on peut désigner par la notation abrégée

déjà employée (1" Partie, ] nous prenons

, 6t)). En général, sî H — n binômes, il faudra prendre les seconds termes dans chacun des ii binâmes restants; en répétant cette opération de toutes les manières possibles el en ajoutant les résultats, on trouve

. '^«bc.f.