CHAPITRE PHEUicn. g

. . ./"désignant, pour abréger, la somme des pro-

btenus en prenant pour l'acleurs n des m lettres

a,b,c,,, .,/de toutes les manières possibles, ^abc. ..J

représente donc la somme des combinaisons des m lettres

«,£ /'prises n à n sous (orme de produits. Si donc on

lient à supposer a=: b^c ^= . . . := t, le terme que nous iCDons de calculer se réduit à

Enfin, pour achever la formation du produit que nous cKerclions, nous prendrons tes seconds termes des bi- DÛmes, et nous aurons le terme abc. . ./; nous pourrons [donc écrire

y Nous aurons plus loin occasion de faire usage de cette amie; si l'on y fait a^ b =:c = — ^ /, il vient

Celle formule peut encore s'écrire, en remplaçant C", par

Nous ferons, au sujet de celte formule, plusieurs remarques importantes.

i" Deuj: coefjîcienfs également éloignés des extrêmes te développement de [x -j- aY'sont égaux.

10 TRAITB D*AL6ÉBaE.

£n efiet, çn changeant x en a et a en x, les coefficients* des termes ne changent pas ; le premier membre de i^équa-* tion (2) ne change pas non plus. On a alors, en identifiant les deux développements de (x -Ha)'" que l'on obtient ainsi, c'est-à-dire en égalant les coefficients des mêmes puissances de x, le théorème qu'il s'agissait d'établir; il conduit à la formule

Cn ftn—n

que l'on peut vérifier directement. Elle revient, en effet, à la suivante :

m {m — i)...(/i/ — /i-A-i) m {m — i)...(/iH-i) 1.2.3.../? 1.2.3. ..(m — n)

Si l'on réduit les deux membres de cette égalité au même dénominateur, les numérateurs deviennent égaux

2^ Si Ton fait a = x = 1 , on a

2'« = 1 -+- Ci, -f- c;„ -+- . . . -4- CJ, H- . . . H- C,^. 3® Si Ton fait a = — x = — 1, on a

0=1 — C„^ -^ C^ — . . . ± C^, qz . . . dz CJJ.

4^ Si, dans la formule (2), on met le terme général sous la forme

il désignant d'une manière générale le produit 1.2.3.../, si Ton change ensuite a en a 4- i, le terme général du développement de (x 4- « -h i)*" sera donné par le terme général du développement de l'expression (3) dans la-