CHAPITRE PREMIER

quelle on aura changé a en a + & ; il sera donc

mil m — /i ) !

ni [m — n)\[m — n — a] lai

ni (m — /i— a)!al

Ed changeant ensuite b en 6 + c, on obtient de la même façon le terme général du développement de (x-f-a-hi H-c)*», et, en continuant ainsi, on trouve, comme t. I, p. 67,

formule dans laquelle on a toujours

les entiers ot,p,... pouvant être nuls, on y supposera a^ égal à I , et o ! égal à 1 .

¥1. — DU TBIAHGLE ABITHMÉTiaUB.

Considérons les coefficients des puissances successives du binôme; écrivons sur une première ligne les coefficients de la première puissance, c'est-à-dire 1 et i ; sur

une seconde ligne écrivons les coefficients de la seconde puissance, c'est-à-dire 1, 2, i, et ainsi de suite, de sorte

12 CHAPITRE PBEUIER.

que les coeflicients des termes de même rang se correspondent dans une même colonne verticale. Le Tableau que nous formons ainsi porte le nom de triangle arithmé^ tique; les propriétés de ce triangle ont été développées avec beaucoup de soin par Pascal dans son Traité da triangle arithmétique; toutefois il ne dispose pas son

triangle tout à fait de la même façon que nous. Si nous concevons que, dans le triangle dont nous avons parlé en premier lieu, on fasse glisser chaque colonne verticale de manière à amener toutes les unités qui sont en tête sur une même ligne horizontale, on aura le triangle de Pascal. Les nombres qui sont inscrits dans la (/i+i)*^^ colonne verhcale du triangle portent le nom de nombres /igurt^s liu /i*«^'"' ordre; les nombres du premier ordre,

ou I , j, 3, 4 portent aussi le nom de nombres natU"

reh. les nombres du second ordre celui de nombres fnii/i;;i</iii/'o\ les nombres du troisième ordre celui de f*yranttdiiUA\ les nombres du quatrième ordre celui de trian^ulo-trian^ulaires.

Tuk-oHi.MK I. - /.«' j*'^'«' noml*rf ti::ui'é de l'ordre n a

^ . *Hl , , i-

Kl» ollVl. lo» ii\»nihiv^ tij;mv* de Tordix» n sont les nombres dr (-\uul»u)ai«\»M« m A '4 ; le pivuùer est rvUtif à n objets^

le second à n + i , . . . , le i""" à n + i — i , le i"*" nombre figuré de l'ordre n est G^^,.. un corollaire (p. lo), C^~/-ii c'est-à-dire

1 sorte que ou, d'uprès

Ii-i

expressions ideoliqucs avec celles que nous avions annoncées.

Théorêhb II. — 6'n nombre figuré est égal au nombre écrit imiriéditUenient aa-desius de lui dans le triangle arithniétiguc, augmenté du nombre placé à la gnnc/ie de ce dernier.

En d'autres termes,

Cette formule se vérifie trés-facilcment en remplaçant les svmboles C"^,-, C^.,,, C"",'-,- par leurs valeurs. Voici comment on peut l'établir directement. Considérons la formule

démontrée pages 8 et 9; multiplions ses deux membres pir(x-f-c}i nous aurons

or, en identifiant cette formule avec celle que l'on obtient CD appliquant directement la formule du binâme 1 l'expressioD [x + a )"■*-' , on trouve

»ê]|E III. — Il résulte du théorème précédent

tj TDAITK d'ALGÊIIHE.

ifu'un nombre Jïguré quelconque est égal à la somme des nombres J! g lires de l'ordre précédent, placés immédiatement au-dessus de lui dans le triangle arithmétique.

Ainsi, Von a

Le Irisngle arithmétique dont nous venons de parler est un cas particulier d'un triangle beaucoup plus généra], que Pascal appelle aussi triangle arithmétique et que doub allons apprendre à former.

Dans une première colonne verticale écrivons le nombre a; dans une seconde colonne contiguë écrivons tes |

nombres a, « -t- è, 311 -h b obtenus en ajoutnnt au (

nombre b les produits de a par les nombres figurés du pre- > mier ordre-, dans une troisième colonne écrivons les pro~ f duits des nombres du second ordre par a augmentés des | produits des nombres du premier ordre par b, et ainsi de i; suite; nous formerons le Tableau ci-contre.

■ oé

Les propriétés connues des nombres figurés montrent : 1° qu'un nombre inscrit dans le Tableau précédent est égal à celui qui est placé au-dessus de lui augmente de celui qui est à gaucho de ce dernier; a" qu'un nombre

aeltonijue est égal à la somme de tous ceux t/ut sont s ati'dessus de lui dans la colonne précédente.

Considérons la troisième colonne de notre dernier Tableau; faisons h^ i, elle se composera de la suite

lii«rsque n=:i, on retrouve les nombres triangulaires:

lorsque a := 2, on obtient les nombres carrés, qui ne sont

lUtre chose que les carrés des nombres naturels; lorsque

|p^3> on obtient ce que l'on a[t[>elle les nombres ponla-

maux; lorsque « = 4i on obtient les nombres Uexago-

X, etc. Voici maintenant la raison de ces dénouilna-

îonsidërons la^^. 5 : elle commence par un point; au- ^ssous on a placé deux points, puis trois, puis quatre, etc. W n représente le nombre de points placés sur le côlé AJ3, Ruooibre total des points contenus dans la figure sera

Rtmme des n premiers nombres naturels, c'est-à-dire rcprésentt'ra le n"'"" nombre triangulaire.

Si nous considérons maintenant la Jig. 6, si nous désignons par n le nombre de points contenus dans le é AB, il y aura n^ points en tout dans la Ggure; or, on ml évaluer ce nombre d'une autre manière, en obser- Ot qac l'on trouve de chaque côté de la diagonale AC

k points, k désignanl le (n — iji*"" nombre triangulaire: U y a donc en tout

points dans la figure, c'est-à-dire un nombre de points marqué par le n'"" nombre carré.

Si nous considérons la fig. y et si le cAté AB contient n points, nous voyons que la figure totale contiendra, en désignant par A le (n — i)'*°' nombre triangulaire, 3AH-rt points, et ainsi de suite.

TH. — SOmŒ DES ?insS&NCES 8EKBLULES DSS TEBKQ S'ME FEOGRESSIDR AfilTHHËTiaUE.

Considérons la progre

rithmélique (*)

Soit h la raison ; nous aurons, en désignant par r lier quelconque,

(*} Lb Ibéoriedea nombrei polygoDini et das pra^frcsaioni irilhmétlqoa eilile cjsna les CBUTres da DiuphantE. Ardiiroéde a fait connnttre la somina d<H ciirri!s des n premiers nombres eDtii?ri, il l'a appliquée ï la rccberchi de l'aire de la pnrnlinloi In somme des cubss des n premiar» nntiers a êu donnée pnr Hralime[;iiptii, nu m' siècle; la somme des quairiéine» puis. uiicei ■ éU donnée par Djamchid ban Mas'oud ben Mahmoud, médecfa tralie du xii' siècle ; Fermai a donné le premier une méthode gcnéralo pour Il iiimmation des puissances semblables des termes d'une progression iirill» métiqne.