CHAPITRE PREUIER. I
Ajoutons ces égalités membre à membre, Il vient, en sup* primant des termes communs de part et d^autre,
l=ifi i=im
J*où Ton tire
Cette formule permet de calculer la somme des puissances 71*^"^ des termes d'une progression arithmétique lorsque Ton connaît la somme des puissances i, 2, 3,..., n — I.
Proposons-nous par exemple de trouver la somme des carrés des/7 premiers nombres. Il faudra, dans la formule précédente, faire /i = 1 et /i = a ; il viendra alors
ou bien, réductions faites,
,-,__/'(/' -^Of^/'-M)
La même formule (1) donne ensuite, pour /i =3, i=p
I Jl^tre, II.
iB TDAITB OALGEBUB.
c'est-à-dire, réductions faîtes,
Tm. — A7FUCATI0H OLS THÉOBIES PHÉCÉDEHTIS 1 U BOmiATIOIl DES FILES DE B0DLET8.
Dans les arsenaux, les projectiles emmagasinés sont aujourd'hui de deux espèces : les uns sont destinés aux pièces lisses el sont sphérîqucs; les autres sont destinés aux pièces rayées et ont une forme cylindro-conique.
Nous nous occuperons d'abord de la sommation des piles de projectiles cylindro-coniques; ces piles sont formées d'une première rangée de projectiles se toucbanl tout le long d'une génératrice cylindrique. Soit n le nombre des projectiles placés dans cette rangée; au-dessus et entre les intervalles laissés par les projectiles de la première rangée, on place une seconde rangée de n — i projectiles; au-dessus de cette rangée, on en place une troisième composée de /i — a, et ainsi de suite. On forme ainsi une espèce de triangle dans lequel le nombre des projectiles employés est évidemment le h'*"' nombre
triangulaire, ou -^ -\ pour donner plus de solidité à
la pile, on place plusieurs rangées verticales, semblables à celle dont nous venons de donner la description, les unes contre les autres. En désignant par p le nombre de ces rangées, le nombre total des boulets sera
Donc, pour avoir le nombre des projectiles oblongi
CUIPITHE FRBHtEn. I{)
contenta dans une pile, comptez le nombre des boulets contenus en long et en large à la partie inférieure de la pile,' si n désigne le nombre contenu dans le sens du diamètre et p le nombre contenu dans le sens de la Ion-
gueur des projeciilet, p — représentera le nombre
total des projectiles contenus dans la pile.
Les boulets sphériques sont rangés le plus souvent sous forme de piles rectangulaires ; les piles carrées ou t/uadrangulaires sont moins fréquemment usitées. Enfin on n'emploie que rarement les piles triangulaires, et seulement pour un petit nombre de projectiles, à cause de l'espace qu'elles exigent.
Occupons-nous d'abord de la pile triangulaire. Soit n le nombre des boulets contenus dans le cAté du triangle équilaléral qui forme la base de la pile ; celte base con* tient évidemment un nombre total de boulets égal au
«'•■• «ombre triangulaire, ou — boulets; au-dessus
de celte base ou première rangée, on en a placé une seconde, en ayant soin de mettre les nouveaux boulets eotre les interstices laissés par les premiers. Le côté de celle seconde rangée ne contient que n — i boulets; par conséquent, la rangée elle-même contient un nombre de boulets représenté par le {n — i)""' nombre triangulaire, et ainsi de suite. Il y aura donc en tout dans la pile un nombre de boulets égal à la somme des n premiers nombres iriangulaires, c'csl-à-dire égal au «'"" nombre pyramidal (de li le nom de nombres pjrvamidaux donné aux nombres du troisième ordre).
Donc, si n désigne le nombre des boulets contenus dans (ecôté d'une pile triangulaire,
%0 TEAITÉ D^ALGÂBRE.
représentera le nombre total des boulets contenus dam la pile.
Considérons maintenant une pile quadrangulaire. Dans cette pile, la base est formée de boulets tangente, les points de contact ayant lieu aux extrémités des diamètres rectangulaires: la forme générale de celte base est un carré« en sorte que. si n désigne le nombre des boulets Cv^ntonus dans le ciNté, n* représentera le nombre total des boulots contenus dans la base. Au-dessus de la base se tri>u\-e une rangée de '^n — i)- boulets, et ainsi de suite, en sorte que le nombre total des boulets contenus dans la pile est la somme des carrés des n premiers nombres, on
Ainsi donc, n Jtfi^n4tnt I^ nomhre des boulets con^
:rfiu,< *i^ins /i* *\V:r ^iu^i^ pîlr cu^*iran^ul*ure,
»r*;vv.sr*xjr,-»*vî vV )>,'>?>î^'r l*"C,:7 ,:V,^ hc^iJ^j conTtams dams
^,^î^,N^î;•ï\^r.^ onîm «i>r p-.lc r^ïvtanp;ljèirf ; jul base est %N^yi^;:*^;.l^ or k Ws'nrïf W4iïi"..:r q«c *•*?-'. ic 3f la pile q«avi r« r^*:'* J ;; ; ; v S,m *^ï^ ; i. oî *; K> ;•; .^ n; Sr;> ô f K>t i ris coxiteass ,i«n> K'> ,\M,"> *v k S*Ni-. 4;i; o,^Nvj;> ôf k i«i.sf, c* place
,\^î;v ^'i «iiix; ,î,* >4,.;,^ l\vx,Nrix I. 1. ■ : . .'i- nAm^iTic total
,},*x îs^ii ',•.'* *!,• ij; 4%.!," xo,T
On aurait pu arriver à ce résultat en observant que la pile pouvait se décomposer en une pile quadrangulaire ayant n boulets de càté et en une autre pile analogue aux piles de projectiles oblongs, mais inclinée, et ayant /j et n boulets de côté.
Donc, n et i/ désignant le nombre des boulets contenus dans le petit et le grand côté d'une pile rectangulaire, le nombre total des boulets contenus dans la pile
ISi dans cette formule on l'ait n'^n, on retrouve la formule qui convient aux piles quadrangulaires.
NOTES ET EXERCICES
I. Dans les probléiueâ rclalirit il l'analyse combinalolre, on est sou*
TCBt amené à évaluer le produit i.ï.3...n — n\; quand a esl grand,
le nlcul de c« produit est pres^iue impraticable. Voici une formule
(dont nooâ ne proposons pas la démoDslraLiuQ ) que l'on donne dans
LlwTraités de Calcul intégral et qui permet de calculer rapidement n! :
1, 4341945] + o,3ggo8g9 + -log/i-^
22 TnAlTE D ALGEBRE.
(les logarithmes ont pour base lo). L'erreur commise par l'emploi de cette formule est moindre que ;•
Il ne faut pas oublier que Cg, = , '—, — rj A;2 = — f> P„ = /i!.
Exemple, — De combien de manières loo personnes peuvent-elles se ranger à table? De loo! manières. On a logioo! = 167,97 i3i. Lo '^ nombre cherché a donc i58 chiffres; les premiers sont gSSgS.
2. De combien de manières peut-on écrire les unes à la suite des autres a lettres a et p lettres b ?
3. De combien de manières peut-on écrire les unes à la suite des autres a lettres a, p lettres ^, . . . , > lettres /?
^/'- aljB!..,; — •
4. Le nombre de manières dont on peut amener le point N avec /A dés à jouer est le coeflicicnt de x^ dans le développement du polynôme ( j: -I- x' H- x' -+- X* -+- j:« -h j:8 Y,
5. Trouver le plus grand terme du développement de (« h- ^)'".
En appelant -y^, a^h^ ce terme et on écrivant qu1l est plus grand que celui qui le précède et celui qui le suit, on trouve
d'où l'on tire
Donc a est le plus grand entier contenu dans j—»
6. De ce que le nombre des combinaisons de m objets pris n ù n
^ m(m — i) , , Am — n -h i) . , , j .» j^
est —' ^ ^ on peut conclure que le produit de
