CHAPITRE II

DBS POLYNOMES.

PBËLIlIIIlAiaES.

On ii[i[jclfe monôme oa terme une quantité prise iso-

t, ou tiQ ensemble de quantités qui, dans une Ibr-

lule, ne sont liées entre elks par aucun des signes +

est u

monôme.

On appelle poljnôme une quantité composée de plu- I sieurs termes séparés par les signes -.-ou — : ainsi fab — c -hde est un polynôme- Les polynômes se divisent

inâmes, trinômes selon qu'ils ont deux, trois, . . .

I termes.

On a déjà défini en Arithmétique ce que l'on appelait

r puissance d'un nombre; en Algèbre on appelle, couimc en

Aritlimétique, puissance n^*"' d'une quantité le produit

de n quantités égales à celle-ci; la deuxième puissance

d'une quantité s'appi

die

ede cette quantité, la

troisième cube.

Pour indiquer d'une manière abrégée la puissance n'"" de la quantité a, on écrit le nombre n au-dessus de a, ; le nombre « ainsi placé porte le nom d'ejcpouant('). On convient en outre de regarder a* comme égal ■ I, en sorte que la puissance u d'une quantité quelconque

( *) Ln BipouDU nnl M [m«|)iiié* p«P Ei . - Traité dAlgrbrt, ■■

aie à r. Cette convention peut paraître inutile, i on verra plus loin qu'elle permet souvent de simpl le langage; elle est d'ailleurs logique, a" indiquant a a été pris zéro fois comme facteur, c'est-à-dire n'c pas comme facteur dans le produit où il est écrit; a" donc être considéré comme équivalant à un.

On appelle coajjicienr. d'une quantité dans un le l'ensemble des facteurs de ce terme qui n'entrent pas ( la quantité en question; ainsi, dans le terme 3(i/), ia

le coefficient de b, 3 est le coefficient de ab. Dans

2 est le coefTicient de -• - est le coefficient de h.

Ou appelle termes semblables ceux tfui ne différent t par leurs coefficients. On voit par là que la similitude deux termes est une chose tout à fait relative et dépe des quanUlés que l'on coBsidère comme coefficients ; ai aaè et Zab sont termes seml>lai>tcs si l'on considère 2 e comme coefficients, an'i et 4«A ne sont plus semblab si l'on ne considère comme coefficients que les fact^t numériques; mais ils le sont encore si l'on considère a comme coeffideot du premier terme et ^a comme coel cient du sciuiid.

Nous verrons plus loin que ta considération des lerni senil]lables permet de simplifier considéra blemeni le cak algébrique.

n. — ADDinOIl ST SOnSTBACTION DES polthohes. Proposons-nous d'additionner les deux polynùmcs

B résultat chercbé esl

, pour ajoul£r la somme Q&a-f- l> — c -\- tl, il suffit t d'ajouter à cette quanlilé successivement cliacune des parlliesde Q(p. 8); gn a donc

P-t-Q^a-hb — e-^-d-hs — f'-hh — i.

D'où l'on voit qae, pour ajouter ensemble deux /tofyrnômes, il suffit de les écrire l'un à lu suite de l'autre sans w-(hanger les signes de leurs termes.

Cette règle s'applique évidemment à plus de deux polyïiômes.

Proposons-nous maintenant de retrancher le pol^nAmc Q du polynAmc P.

Retrancher Q de P revient à ajouter à P le polynôme Q

t «haogé de signe ; la question est donc ramenée à celle-ci :

Il cltanger le signe du polynôme Q. Pour y parvenir, je dis

I qu'il sufllit de changer les signes de chacun de ses termes.

En effet, pour trouver la valeur d'un polynôme, il faut

ajouter les termes de même signe, retrancher la plus petite

des sommes ainsi obtenues lie la plus grande, et douncr

I an résultat le signe de la plus grande. Si l'on change alors

I les signes des termes du polynôme, les sommes qu'il faut

* Wtrancher l'une de l'autre pour obtenir la valeur du poly-

oAme changent de signe; la plus grande de ces deun sommes

CD particulier change de signe, et par suite le polynôme

lui-même, qui est de même signe que celte dernière somme.

Ceci posé, on voit que, pour retrancher Q de P, il suf-

I fira d'ajouter àP le polynôme Q. dans lequel on aura eu

tJoin de changer les signes de tous les termes; ou, ce qui

I revient au même :

Pour retrancher un poljnôme d'un outra, il *i*f^

ao TBAITÉ DALGËDBE.

d'écrire à la suite de celui-ci chacun des ternies polynôme à soustraire changé de signe.

Il esl inutile d'ajouter que ces règles bien simples s'a pliquent encore au cas où i'un des polynômes considérés

réduirait au

mondme.