I. — PRÉLIMIIAIRE
Lemme I. — Les puissances successives des nombres plus grands que i vont en croissant et peuvent dépasser toute limite.
Lemme II. — Les puissances successives des nombres moindres que i vont en diminuant et ont zéro pour limite,
Lemme III. — Les racines successives des nombres plus grands que i vont en diminuant et ont V unité pour limite,
Lemme IV. — Les racines successives d'un nombre moindre qu(i i vont, en croissant et ont l' unité pour limite»
Il était indispensable de rappeler ces propositions, déjà établies page aoo (T* Partie).
n. — DE L'EXPOSAHT FRACTIOiniAIBE.
Désignons par a un nombre positif : si nous observons que Vov a
Jl — .» ,
38 TDAITE DALGBBBB.
toutes les fois que m est divisible par n, nous serons con-
duits naturellement à représenter par le symbole a'* l'expression 'y/^, lors même que le nombre m ne sera plus divisible par n. Mais, pour que cette notation soit logique, il est nécessaire que les règles de l'exposant entier s'appliquent encore à l'exposant fractionnaire; c'est ce qui a lieu. En effet,
On a donc, pour toutes les valeurs positives et commensurables de a,
on en conclut et, en général.
On a aussi, pour toutes les valeurs positives et rationnelles de a, (3, 7, ...,
car
On a encore
En eflfety
ffip ^ y,P
CUAPITBR III. 3g
Enfin on vérifie aisément que
(abY=za^b% (a : b)* z=z a* : fj\ ....
m. — DE L'EXPOSAHT IIGOHBElISnBABLE.
Lemme I. — Supposons, pourjixer les idées, le nombre a plus grand que l'unité; alors, — désignant un nombre commensurable, on aura
m il j> I .
En effet, a" est égal à \/â/^] or, a"» est plus grand que i : donc v/a"* sera aussi plus grand que i (p. 35). Au contraire, si a était moindre que i, on aurait
Lemme II. — a" croit avec — si a est plus grand que i ; il décroft dans le cas contraire.
En effet,
rn mi m w^
mm'
Si donc a est plus grand que i , a" **' sera plus grand que
a" ; il serait évidemment plus petit dans le cas contraire, ce qui démontre le lemme énoncé.
Lemme III. — Si le nombre commensurable — a pour
limite zéro, a" aura pour limite l'unité.
En effet, les racines croissantes de a ont pour limite
Tunité (p. 37) : donc il existera toujours une racine, la p^ième pj||. exemple, qui sera telle que
