I -+- 8 > ai^ > I

8 étant une quantité aussi petite que Ton voudra, et, pour toutes les valeurs de — inférieures à ~» on aura a /brlcori

ceci revient à dire que a" a pour limite Tunité.

Ces préliminaires une fois posés, nous pouvons définir

l-exposant incommensurable comme il suit.

ooient - » — , 9 - « • • • • une série de tractions avant pour n n tr " .

limite le nombre incommensurable or ; la limite vers laquelle

tendent les quantités a" y a" , ... est ce que nous appellerons a^. Cette limite existe, car, si Ton suppose a^i

et — î — r9 • • croissants, a^ ^ n\ ... seront des nombres n n

croissants inférieurs à a\ 6 désignant un nombre commen-

surable supérieur k x\ ils auront donc une limite X. Sup-

posons mamtenant que —i—j^ ••• tendent vers x dune

manière quelconque : on peut toujours prendre- moindre que X, mais assez voisin de x pour que

i désignant uu nombre aussi petit que Ton voudra ; mais quel que soit — ? pourvu qu'il soit assez voisin de - et par

CHAPITBB III. f,

eoDséqneat de x, on pourra toujours poser, eu vertu du lemme précédent,

e'est-i-dire

val. abs. f 1 — a" J<J,

ce qui prouve que a" a pour limite X, de quelque manière que — tende vers x. Nous avons supposé a ^ i ; en supposant a<^t, le raisonnement se fait identiquement de la même fa^on.

Il va sans dire que les règles de l'exposant entier s'appliquent à l'exposant incommensurable; en effet, on y

— et - étant les fractions qui ont pour limites x et z. On lire de là

a'n--=\\m(i''„''z=\\ma" ";

or, limfl" ' est ce que nous avons appelé a^-, cnr x -I- a est la limite de — h -; donc

De cette égalité on peut déduire, comme au paragraphe précédent, toutes les propriétés des exponentielles.

tr. — DE L'EiPosm vtwm vt hul.

Si l'on observe que pour m ^ » on a *

^^ TBAITB DAUSBBRB.

on est conduit à poser dans tous les caSi comme définition,

^m-«-^/ii . f^n^

et en particulier, si ni = n^ Or on a, dans le cas où nK^rif

on est donc conduit à écrire

ou enfin

I^s règles de Texposant négatif sont les mêmes que celles de Texposant positif. En eifety on a

«-• X «^ = fl^ : a" = rt^~*, donc, quel que soit a et quel que soit (3,

On en conclut, comme à la page 36, Enfin, je dis que Ton a

En eOel,

si « en négal

r et égal à -

Si P est négatif el égal à

-f-, on a

Si « et p .

3nt tous deux

négatifs et

On verrait facilemeDt que

[al>)' = a'l.: (a:i]'=^«':ù'

Si l'on considère x comme variable et si m désigne un sombre constant, jt™ est ce que l'on appelle h fonction

^* mètres ne regardent la fonction j"" comme algébrique qu'autant que l'exposantntest coinmensurable[voi/' Asel, Sur le.f fonctions algébriques des différents ordres

^mtOEuvres complètes)].

^H « .... La position d'une grandeur à la suite d'une autre

BPsiiOit pour exprimer leur produit; si ces grandeurs sont [es mêmes, ce produit est le carré ou la seconde puissance (le cette grandeur. Mais, au lieu de l'écrire deux fois. Descaries imagina de ne l'écrire qu'une fois (*), en lui Ltlonnant le nombre a pour exposant, et il exprima les jliiissanccs successives en augmentant successivement cet Vposant d'une unité. Cette notation, en ne la considé-

F.(*)ilî«»»d« Laroche aT(fl «n ivini Deicirin l'id^ dnnpaianu, mail I Dnoru* u'i pai la<*nt<' l«i »po>aiits il en s Tiil^riM l'uiii|[(-.

4i Tnwi

ranl que comme une manièrii abrégée de représenler ces puissances, semble peu de chose; mais tel est l'avanLage d'une langue bien l'aile, que ses Dotations les plus simples sont devenues souvent la source des théories les plus profondes, et c'est ce qui a eu lieu pour les exposants de Descaries. Wallis, qui s'est allacbé spécialement k suivre le fil de l'induction et de l'analogie, a été conduit par ce mo^en à exprimer les puissances radicales par des exposants IraclionDaires.... Wallis supposa généralement que

l'exposant exprime l'unité divisée par la racine n""

de la grandeur élevée à la puissance m. Ce fut dans son Ouvrage intitulé -/irithmelica inpnitorum que Wallis exposa ces remarques » (Laplace, Jliéorie analj Uijue

des probabilités. V" Partie. Livre I.)