V. — DE U rONCTIOn i:XFDI(miELI.E

Lorsque â désigne un nombre positif constant et :i: un exposant variable, la fonction a' est ce que l'on appelle

la Jonction exponentielle simple. « L'extension la

plus importante que cette notation (celle des exposants) ait reçue est celle des exposants variables, ce qui constitue te Calcul exponentiel, l'une des branches les plus fécondes de l'Analyse moderne. Leibnitz a indiqué le premier, dans les Actes de Leipsick pour itiSa, les transcendantes à exposants variables.,..» (Liplace, 77iéorte analytique des probabilités, 1" Partie, Livre IL]

VI. — CONTminTÉ DE II FOHCTtOU ALeÉBBiaUE ET DE LA FDKCTIon EXFOUENTIELLE.

TutouÈME L — La /'onction x^, dans laquelle a désigne un exposant constant ifuelconifue, est croissante et continue pour toutes les valeurs positives de sa variable.

CJIAPITRB III. j5

FaîsODS varier x entre les limites afXb\jf prendra des râleurs cumprises entre a' et b'. En effet, jc' croit avec x si a, est positif; il décroît dans le cas contraire. Pour le démontrer, il suffit d'observer que, si par exemple « est posïliret si l'on pouvait avoir

■ ce qui est impossible, puisque les puissances entières et \ les racines d'un nombre plus grand que r sont plus grandes I ^e I .

En second lieu, si p est compris entre n' et &*, il est l&cïle de voir que x* passera par la valeur ^. En effet, il

tsnffit pour cela de faire x-=-^'\ donc x^ ne peut passer

■ d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs

■ intermédiaires; il oc passe d'ailleurs qu'une fois par la î valeur;»; x" est donc une fonction continue pour

s valeurs positives de x.

Quand on donne à x des valeurs négatives, la contii peut être interrompue; il y a plus, la fonction x'

ni alors mal défin'

Libelles l'exposant est le même, représentent rcspectivcmt J*^^ ou — a et

lu est impossible de se faire une idée de la valeur d'une

46 TRAITS D ALGEBRE.

expression telle que ( — 1)>/^. Enfin, si le nombre a est une fraction telle que -» -» • • • ^ x* n'existe pas.

Théorème IL — La fonction a^^ dans laquelle a est constant et x ^variable, croît avec x si a est plus grand que i; elle décroit dans le cas contraire; de plus, elle est continue.

En efiet, supposons, pour fixer les idées, ^ ^ i ; pour démontrer que o^ croît avec x, il suffit d'établir que Ton a

a'" > a" pour m ]>> /«.

Si m et 7z sont commensurables et de la forme m = -*

n=z ", p^ qy /'y s désignant des nombres entiers, on a

Mais

- 2> - ou sp^ rq,

Or rt*^ est plus grand que i, puisque a]]>i; doue

ou, en vertu des formules (i),

Supposons maintenant Tune des quantités m on n incommensurable; soit / un nombre commensurable compris entre m et w, de telle sorte que

Faisons tendre / vers m, par escmple, en le faisant croître et passer par des valeurs commensurables; a' ira en croissant, et la limite de a' est ce que nous avons appelé a""; cette limite est le plus petit des nombres auxquels a' reste inférieur; donc, que m soit commensurable ou non, on a toujours

On verrait de

c que

I Donnons maintenant à x n petit /i ; a^ prendra l'accroisseï :

accroissement inlinimcnt

n est facile de prouver que cet accroiss t petit. En clTet, on a

pour limite l'unité quand h tend vers -téro. Cette ■oposition a été établie pour les valeurs commensurables de A (p. 35); mais, comme a* décroît avec A, il en résulte que la limite de a* est encore l'unité pour les valeurs incommensurables de A, ce qui revient à dire que k a pour tîmitc zéro; donc a^ est une fonction continue.

Nous avons supposé n > i : la démonstration se fait de Kli même façon dans le cas contraire : il est bien entendu, u reste, que a est censé positif, la fonction a* n'ayant été Ufînie que dans ce cas.

48 Tn.\iTÊ d'algèbre.

Vn. — 8UB LA PROFBI£t£ FOIDAMERAIE de L'EXPOnmOKE*

Si Ton pose a*=ç(x), on aura

réciproquement, il est facile de prouver que toute fonction <f{x) continue satisfaisant à cette formule est de la forme a*.

En effet, si Ton multiplie par (^(z) les deux membres de (i), on a

En multipliant par <^(£) les deux membres de cette nouvelle formule, on aurait

et ainsi de suite. Donc, m étant entier, on trouvera

en faisant x =^== r ==.... Je dis que cette formule a lieu pour les valeurs fractionnaires de m ; on a, en effet, en supposant p et q entiers,

d'où

(f) = Wx)'

et, en élevant les deux membres à la puissance /?, en vertu de la règle ( 2 ),