CHAPITRE III. 5l
En eifel, si Ton pose
on a, par définition,
donc c'csl-à-dire
OU bien
loga-Ti -H loga-r, -+-... = loga-r, .r, . . . x„.
Des formules (2) on tire jti : j-j = a.^~/« ; j-, — ^, est donc le logarithme de X| 1x3. Donc :
Théorème IV. — Le logarithme d'un quotient est égal à la différence des logarithmes du div^idende et du diviseur.
On a également x'^ = a^Ti, Donc my^ ou mlogXi est le logarithme de x"^ ; donc enfin :
Thkorème V. — Le logarithme d'une puissance quel- (onque de x est égal au logarithme de x multiplié par r exposant de cette puissance.
Théorème VI. — Soit (f[x) une fonction continue de x\ si l'on a
?(-^)-<-?(r) = ?(-nr)»
/a fonction 9(x) sera un logarithme de x.
Nous laissons au lecteur le soin de faire la démonstration {voir p. 4^).
IX. ~ GORCOBIIUICL DS LA SÉFIIirTIOIl HtPÊBIEIfllE DES L06£- BITHHES AVEC LA DÉnHITlOIl ROIJTELLE.
Neper définissail, comme l'on a vu, les logarithmes an moyen des deux progressions
nr était, d'après lui, le logarithme de ç"; cette définition s'accorde avec celle que nous avons donnée dans ce Chapitre. En effet, on a
nr, logarithme de </" d'après Neper, est donc bien l'exposant de la puissance à la(juelle il faut élewer le nombre
constant i/'" pour avoir q". Du reste, ç"" a bien pour logarithme 1 : c'est la base.
Réciproquement, si nous considérons des nombres en progression géométrique «, a', s', . . . , leurs logarithmes dans la base a quelconque seront loga, aloga, 3log«,..., c'esl-à-dire seront en progression arithmétique.
Z. — DU HODDLE D'UV STSltUE DS LOQABITHUEES.
11 est souvent utile de savoir passer d'un système de logarithmes à un autre. Ainsi, par esenipie, les premiers logarithmes calculés par les soins de Neper n'avaient pas pour base lo. Pour les calculer dans la nouvelle base, il suffit de les multiplier par un nombre constant : c'est ce que nous allons établir.
Soient x le logarithme de N dans la base a et / le loga-
nthme du môme nombre dans la base A; on aura
CD prenant les logarithmes des deux nombres dans la base !>,
log,,N = .rlog,« OU bien
(i) log,H = H„N.l..s*«.
De là le théorème suivant :
TutORÊMB I- — Le logarithme d'un nombre pris dans ie nom-eau sj stème s'obtient en rnulti/jliant le lugarithnie de ce nombre dans l'ancien système par te logarithme de l'ancienne base dans le nouveau système.
Si l'on fait N =;& dans la formule (i), on a
I 1 :=ln6^i.log6« ou loy^a^j-—;
donc :
ThëOrèhe II. — Le logarithme de l'ancienne base dans le nouveau système et celui de la nouvelle base dans l'ancien système sont inverses l'un de l'autre.
Le nombre constant log^t ou ittog^i est ce (jue l'on appelle le module qui sert à passer du système dont la base est b au système dont la base est a.
Lorsque Neper eut invente- les logarithmes, il ne tarda pas à s'apercevoir que, si ce représente un nombre Irèspelil et si (3 est le logarithme de i-ha, le logarithme de I -»-a«, qui diffère fort peu de i -+- 2«-i- ot*^ (i ■+■ 2)', différera fort peu de i(S; de même, 3j3, logarithme de (1-+-3)', différera fort peu du logarithme de i-t-3a...; , donc les nombres très-voisins de l'unité croissent propor-
tionnellement à leurs logarithmes. La limite du rapport -^
pour ce = o était ce que Neper appelait le module d'un système de logarithmes. Neper crut iaire Thypothèse la plus simple en posant
lim - = I .
Il obtint alors un système de logarithmes que l'on a appelés naturels, népériens ou hyperboliques. EiTectivemenly les logarithmes népériens sont ceux que Ton rencontre le plus fréquemment en Analyse. Proposons-nous de calculer la base.
La base est le nombre qui a pour logarithme i ; or, i + a
ayant pour logarithme ^, ( i + ^e )^ aura pour logarithme ^ ou 1 ; si donc nous supposons ~ = i , on aura, en appelant e la base des logarithmes naturels,
e=\\m[i -h a)^ |)our a =: o et lim -= i,
ce
ou
tf = Um;i -h a)*^= lim(l -ha^*.
Nous calculerons plus loin la limite de l'expression ( i -+- a)*.
Elle est égale à 2,7182818^8459045
Cherchons maintenant le module qui sert à passer de:i logarithmes naturels aux logarithmes pris dans la base a. Ce module sera i:log«.a. Soit j3 le logarithme de i -h a dans la base a ; on aura
a = lim I -h a ^ pour a = o,
ou bien
log^rt = lim jl logeviH- 3t ; •
ciiAPiTaE III,
Or, pour a très-pelit, on a log, ( i + a ) = a, ou , pour élre plus rigoureux, log(i -t-a) esl un nombre qui, divisé para, donne i pour quotient lorsque l'on passe aux limites et que l'on fait a := o ; on en conclut
log^rt est donc ce que Neper appelait le module. Aujourd'hui c'est log^e ou lîm - que l'on appelle le module d'un
système de logarithmes; c'est, d'après ce que nous avons vil, le nombre par lequel il faut multiplier tes logarithmes naturels pour avoir ceux du sjslèine dont ta base est a.
EXERCICES ET NOTES
I. Supposons que la somnie a soit placée au taux r. Au bout du temps 9 très-petit, qui sera, si l'on veut, - d'année, elle deviendra
«I i-F - h si on la retire alors pour la replacer au mémo taux, elle
dcTiendra, après un nouvelinlervalle de temps -i égale à ni n-- l ;
lu bout du temps 3 9 elle deviendra ali-t--
t = rnù = — elle deviendra ai ' -^ - )
I au bout du tomps
■ Or,
82845... (nous l'avons
.t plus loin]. On a donc pour
h valeur acquit par le capital a plaça pundanl le temps l, quand on
I suppose n iDdéfiniment croissent, ac". On pose e''={t-t-i) ou
= logfi -)-()• on appelant alors A la valeur du capital a au bout du
aps t, on a
A = ai, ■
56 TRAITÉ D*ALGâBBE.
C'est la formule dont les financiers font usage. Cette autre,
A = «lH-/)«(l-4-//),
où n est entier et où / = /i -f-^, n'est pas usitée dans les afbires. / est dit le taux instantané,
