I. — PBÉLIHIirAIBES

Lorsque Ton cherche à résoudre une équation du second degré, telle que

et qui n*a pas de racines, on est conduit, en appliquant la formule générale, à un résultat impossible,

Jr = CK± va*- (a» -4- p») = a =t v/- ;3^

et en récrivant ainsi

on arrive à ce résultat singulier que, si Ton remplace dans la formule {i) x par sa valeur (2), en traitant le signe

absurde y — 1 comme une lettre dont on remplacerait le carré par — 1, cette équation (1) se trouve satisfaite; en eiïet, on a

; a dz .^ V — I ;' — ^a\« ± } \- — i) -^ cr^ -\- t

ip 2 «5 y — I -h a* -f- S' .

Si Ton eflface les termes qui se détruisent dans le second

iitt TRAITE O'ALGéanE.

membre et sî l'on remplace {\J — i)' par — i, on trouve bien zéro.

L'introduction du signe y' — i dans les calculs a souvenl conduit à la découverte de résultats nouveaux et importants, reconnus exacts a posteriori; les géomètres se sont alors crus autorisés à faire usage de ce signe ^/^t.enle traitant comme une quantité dont le carré serait — i . Mais on sent tout ce qu'une pareille convention a de contraire à l'esprit de rigorisme qui caractérise les sciences mathématiques, et l'on a dû chercher si l'emploi du signe ^ — i devait nécessairement ou seulement accidentellement conduire à des résultats exacts. Dans le premier cas, il y a toute une théorie nouvelle à édifier; dans le second, il faut renoncer à classer dans le domaine des faits acquis ceux que l'emploi du signe en question aura fait apparaître.

n. — EXPLICATION D'ON FABADOXE.

Reprenons l'équation (i) du paragraphe précédent .

(Il

Il tsl

e l'on ne peut y satisfaire si (3 n'est pas nul; mais, au problème impossible qui consisterait à résoudre l'équation (i), essayons de substituer un autre problème qui n'en diffère pas beaucoup et qui soit pour ainsi dire la rectilication de son énoncé (c'est ainsi que l'on agit pour l'interprétation des solutions négatives des problèmes). On a vu que or -t-(î \'—', mis à la place de x, satisfaisait à l'équation quand on remplaçait (^^ — i)' par — i, en traitant y*— 1 comme une quantité ordinaire. Au lieu de rem-

placer x par « -t- ^ ^ — i, remplaçons-l lignant une indéterminée; on aura

Le premier membre de (i) devient, comme l'on voit, divisible par I •+- j^j en sorte que, si i -+- (= pouvait s'annuler pour une certaine valeur de i, celle valeur de 1 l'ourniraiL pour j =:£ -l-P( une valeur salisfaisanl à l'équatîon (1). Cette remarque nous permet de rectifier comme il suit le problème qui consiste à résoudre l'équation (i) :

Étant donné le polynôme x^ -\- t.ot.v -4- a=H-/3^, trouver expression de la forme a ■+- bi //uî, substituée à la ;e de x rende ce polynôme divisible par i' ■+- 1 ou^ ce revient au même, égal à zéro, à un multiple de i"~h 1

Oq trouve alors, comme nous l'avons vu, la solution -+■ j3 1'. Mais négliger 1" + 1 dans les calculs, c'est regarder comme égal ii — 1 : on voîl ici le germe d'un nouveau

de calcul, qu'il importe de régulariser.

m. — DES aDAHTITÉS DUfilKAIBES.

rOésignons par t une variable susceptible de passer par ms les états de valeur entre — « et -t- 00 . Tout polynôme iticr en 1 est ce que nous appellerons une imaginaire. Bus conviendrons de regurder deux imaginaires comme nlea entre elles quand elles ne dilTcreront que par un mul- '4-1 ou quand les restes de leur division pari-+i ront eiTectivement égaux; cette convention n'aura rien ^aarde si Ton sous-enlend toujours dans l'un des mbrea de l'égalité un multiple de /'+ ■ ; et dans l'éga-

a=Bh

ilti|>tede[.

Go Tinn

oa peut sans ïnconvénient efTacer ces mois multiple de I (i*+ i), s'il est bien convenu, une fois pour toules, qu'ils I devraient y être écrits, ou que dans le langage ils doivent être sous-enlendus.

D'après cela, totite quantité imaginaire n'ait être ramenée à la J'arme i; -i- bi, a et b désignant deux e/uantité." indépendantes de i.

En effet, dire qu'une imaginaire est égale à a + bi, c'est une manière abrégée de dire qu'elle est égale à a~i-bi augmenté d'un multiple de P + i . Or soit P l'imaginaire en question; en la divisant par i--l-t, on obtient un reste du premier degré. Appelons-le a •+- bi, ou aura rigoureusement, en appelant Q le quotieut,

Donc, en négligeant ou en sous-entendaut un multiple de

Les quantités indépendantes de i s'appellent quantités réelles.

Une quantité imaginaire quelconque se ramenant à la forme a -+- bi en la remplaçant par le reste de sa division il importe de montrer comment on peut trouver

part

le reste de la division dey"(t ) pai

Pour trouver le reste de la dii /■-j-i, il suffît d'y remplacer i" pat i* par 1, 1* par i, ..,, en général i*" par

d'un polynôme par

et i'

une quantité dont te

' par — i [c'est-à-dire d'y regarder i

van -

En elTet, soity(() un polynôme en /. En appelant ^{i*) 'ensemble des termes de degré jiair et "Ki") l'ensemble