CHAPITRE IV. 6l

des termes de degré impair, on aura rigoureusement

Hais, le reste de la division de <f (x) par x + i s'obtenant en remplaçant, dans cp(x), xpar — i, on a, quelque soitx,

Q désignant un polynôme entier en x. Cette formule ayant lieu quel que soit x, on peut y faire x = i^, et Ton a

on aurait de même

et, en vertu de (i),

/(/) = (Q-hQ'i)(/-'-M)4.7(-f.-h/-M-0.

Le reste de la division de /(/) = cp(i^) -+-i^(i*) par i^-^ i est donc ç( — i) -h i^{ — i); on l'obtient bien en remplaçant!^ par — idansy(i). c. q. f. d.

nr. — DES aUATBE OPÉRATIONS.

D'après nos conventions :

i" Toute égalité de Informe

OÙ a. b^Cy d sont réels, entratneray puisque i est arbitraire (c'est-à-dire puisque cette égalité doit avoir lieu quel que soitf),

Ca TRAITE D ALCEDHP..

en sorte que la formule ( i ) sera une manière abrégée d'écrire les deux formules (2) {*}.

a" Leprofliiir de deux imaginaires a + hi, c ■+■ disera

[3] ac-bd+i[b>:^ad],

car, rigoureusement, il estrtc+ bdi- -\- i(/)C -t-ad); et, en remplaçant, t^ par — i, ce qui revient à négliger ud multiple de t'-(- I, on trouve bien l'expression (3).

3" Le produit de plusieurs imaginaires est indépendant dr l'ordre des facteurs; la somme de plusieurs imaginaires est indépendante de l'ordre dans lequel on écrit les par-

4" Pour i/u'un produit de plusieurs imaginaires soit nul, il faut et il sujjit que l'une de ces imaginaires suit nulle.

Le sens de ce ibéorème est celui-ci : Pour t/uf le produit de plusieurs i/uantités telles que a •+■ hi, c -f- di, . . . , en nombre n, soit multiple de i' -h i , il faut r/ue l'une d'elles soit nulle. Supposons que l'on ait

Xdéstgnant un polynôme entier en i . Le premier membre de cette formule est de degré n en i; le second doit être du même degré : donc X est de degré n — a. Or le premier

membre s'annule pour i :^ — jt ~^"/' '"' ^^ ^°"' pour

CJ II foui bien lu ror>ou1c(i] est

en i^flet quand deux polyndi

lanière abrégea d'écrire = c-t-'/i-t-mulliplo cio (i'H iple de

[, lei

n diiii

CnAPITRE IV. 53

«râleurs de i. Mais, i^ + i ne s'annulant jamais, il faut que

X 8*annule pour les n valeurs de i, — 7? -t •••• Or il

* bu

est de degré n — 2 : donc il est identiquement nul ; donc

enfin on a rigoureusement

[a -\- bi)[c -f- di), . .=io,

qui exige que Tun des facteurs a + éiy c-hdi, ... soit nul.

THÉonÈME. — // existe toujours une imaginaire qui, multipliée par une imaginaire donnée, appelée diviseur, reproduit une autre imaginaire donnée, appelée dividende (à un multiple de i^ -f- i près).

En effet, soit a -h l>i le dividende, c -t- di le diviseur; si Ton pose

a -h bi = (c -h di] [x -4- j/),

on en conclut

a -h bi = cx — djr -h i [dx ■+• cjr), ce qui exige que Ton ait

<7 = c.r — dr, b = dx -\- cy.

Ces deux équations donnent pour x et pour y les valeurs finies et bien déterminées

ac -f- bd bc — ad

Si c' -4- d^ est différent de zéro, c'est-à-dire si c et rf ne sont pas nuls à la fois, en d'autres termes si le diviseur c + di n'est pas nul. On a donc

ac ■+- bd -h iibc — ad) X -i' ix=^ ; -ji •

Ce résultat, qui est ce que Ton appelle le quotient Ae a-^hi parc-hflij peut s'obtenir, comme il est facile de le vérifier, en efiectuant les opérations dans l'expression

(n-h bi){r-'di) (c -\- di)[c — ai)'

Théorème. — Le quotient de deux imaginaires Detdne change pas quand on multiplie le dividende et le diviseur par une même quantité réelle ou imaginaire.

En efiet, en appelant q le quotient, on a

D=dq;

en multipliant par m^ on a

Tym=zdmq,

Donc q est le quotient de Dm par dm.

Si nous convenons de représenter par -- le quotient de D par d, on voit que Ton aura

(I -^- hi [a ->r bi][c — di) nr -h bd -h i{bc — ad)

c -h di ~ \c^di)[c — di) ~~ c^-^-d^ '

comme tout à Theure.

Nous appellerons racine carrée d'une imaginaire a + bi l'expression imaginaire x H- 1 ) , qui, élevée au carré, reproduit a -\- bi (à un multiple de i^-h i près). Bornons-nous pour le moment à chercher la racine carrée de — i, nous réservant de revenir plus loin sur le cas général. En appelant X ■+• ij cette racine, si elle existe, on aura

(à la rigueur, on devrait écrire dans le second membre un multiple de i^-f-i, ce qui ne présente rien d'absurde a

riori). L'égalité précëdenle revient à

e qui exige que l'on ail (p. 5g, ligne 18) rigoureusemenl

11 faut donc que x ovj' soit nul ; or on ne peut pas supposer^ nul, car on aurait a:' = — 1, équatiou absurde; ou doit donc prendre ^^o, et l'on a alors j'=i ou «■ ^ di 1 , Ainsi la racine cherchée x~i- ij a deux valeurs cela justifie les formules

«t dorénavant i sera toujours remplacé par le signe \/ — 1. Toute imaginaire « + bi pourra donc s'écrire a-\- b \J — 1 . Quelques géomètres ne font pas usage du signe y' — 1 el. cooservent la lettre 1 dans les calculs. En résumé :

I " ^ — 1 représente une quantité qui peut rccei-oir toutes les valeurs possibles entre — ao et -j- ao dans toutes tes égalités dans lesquelles il se troui-e écrit, el 2" dans ces égalités il faut toujours sous-entcndre que l'on a écrit dam l'un des membres un multiple de { y' — 1 ) ^ -t- 1 . Ce multiple Kut d'ailleurs élre nul.

T. — DD HODIILi; ET DE L'ABSmiEST.

[ Toute quantité imaginaire x + > y' — 1 peut élre mise ) la forme suivante :

Si l'on remarque alors que la somme des carrés des qaan-

- esl égale à l'unité, od pourra poser

- — • = sinS.

Si l'on pose, en outre, l'égalilé (i) pourra s'écrire

La quantité r est ce que l'on appelle le module de l'expression j: -+-! \l — 1 ; l'angle S est son argument.

On convient de prendre le module toujours positif; quant à l'argument, il peut varier entre — ■x et -|- oo , en sorte que, cet argument n'étant absolument donné que par son sinus et son cosinus, sa valeur se trouve indéterminée et comprise dans la formule

9, désignant le plus petit argument positif répondant k l'imaginaire en question, et k pouvant prendre toutes les valeurs entières comprises entre — oo cl -f- oo .

Deux imaginaires qui ont le même module et qui ne différent que par le signe de leur arguEnent, en d'autres termes deuï imaginaires de la forme

^ + .rsl—i, j.- — jv — ' sont dites conjuguées {'). Une imaginaire dont le module

cuaftthb iv.

est rnnilé est ce qiie l'on appelle une expression réduite; la forme la plus générale des expressions réduites est

Traçons dans un plan deux droites reclasguUires xOj', }tOy (Jig- 8 ) ; donnons-leur le nom d'axe des x et à' axa

Cela posé, considérons l'imaginaire

Prenons sur x'x, à partir du point O, une longueur OM ^aJe en valeur absolue à x, dans le sens Ox si x est positif, dans le sens Ox' s'il est négatif; prenons de même ON égal à la valeur absolue de y- et dans le sens Or si y est positif, dans le sens Oj' si ■) est négatif. Construisons enfin un rectangle sur ON et OM; le sommet A de ce rectangle sera déterminé toutes les fois que l'on se donnera x et y, ou, ce qui revient au môme, x -^j \l — i. Réciproquement, à tout point A du plan correspondra une imaginaire déterminée, et une seule, dont la partie réelle sera l'x du point A et doot le coefficient de y — i sera l'y.

En sorte que nous confondrons souvent dans le langage les expressions point et t/uaiiitCé imaginaire. Si nous

68 tuvité ù'moèvse.

Qienons la dregocale OA, nous aurons