O TRAITS I

nairc /■'{coB9''-f-^ — i sinfi"), on trouvera

rr" i' [««{e + 9' + 8')+ v'^^sin(9 + 9' + S*)!, et Binai de suite, ce qui démontre le théorème énoncé.

TtttonkMK in. — Lorsqu'un produit de plusieurs Jacteiitra est nul. L'un de ses Jnttifurs est forcément égal à zéro.

En rlTet, le module d'un produit étant égal au produit de» modules de ses facteurs, si le produit est nul, son module sors nul, el par conséquent le module de l'un des facteura su moins devra être égal à zéro. Mais une imaginaire dont le module est zéro est évidemment nulle; donc, etc., comme on l'a prouvé plus haut (p. 6o).

TuËonkME IV. — Le module d'un quotient est égal au çuotient dos modules du dividende et du diviseur. L'argument d'un quotient est égala ta d'jjérence des arguments du dividende et du diviseur.

En «ffei, soient r(cos9+v — i sinô) le dividende, p (cosfti 4- \> — I sinw) le diviseur; le quotient sera donné parla formule

r(cm9 -i- yl~ tin»)

^« l'on peut écrira

r (nw> + ^— IMB«)(co«w — \^— isinw] f (ctHu^-^— 'ï»BM}(eos*> — ^— 1 sÎrh) t'«U-M)re

ti* M) dénoatre le Uifertee èsoneé.

RsviSQUB. — Le quolienl de i par une e:ipression 'éduite est l'imaginaire conjuguée de cette expression KXéduite; on a, en effet,

n. — THÉOUE BIS RADICAUX AUÉBHiaUES.

Jusqu'ici, nous avons pu remarquer une analogie comlète entre le calcul des imaginaires et le calcul des quanréelles; celte analogie cesse dès que l'on essaye de généraliser la notion de radical ou d'exposant, ainsi que nous allons le constater.

Si nous représentons par le symbole

ii nous appelons puissance n'"" de j: + y \/ — i le protduit de 7) facteurs égaux à cette imaginaire, nous aurons, D vertu du théorème H (p. 67),

[r(cose-f- V^7ain9)J'' = r"(cos/iS^- v'^SÎnnS).

l'on suppose en particulier r^^ 1. on obtient la lormule

^co3S+ \'— isinflj" ^^cnsnH + y— isinnfl,

EStée célèbre sous le nom Ae formule de Moivre, du nom 1 géomètre français qui l'a découverte ( ' ).

(CMÎ-t-i »in6," — (coimfl-i- i siumfl) = multiple de (l'-t-i); ■ (igoiflD que(coi0 •r-i**in0]'' — (coin0 -i- i*ûdhS) e>l dirUibla

TRAITÉ d'algèbbb.

On appelle racine n^^'»' d'une imaginaire A u qui, élevée à la puissance n, reproduit A.

Théouèue I. — Toute imaginnire a n racines n''""'. 1

En efTet

considérons l'imaginaire

R{coBe + v'^siiis);

désignons

par r(cos'e+v'^^s'De) sa racine

aurons, pa

r définition,

s9+ i/^sine)]" = R(cose-+-v^7

sine),

c'esl-à-dire, en verlu de la formule de Moivre,

snS-4- ^~sinnfl)^R{cos0 4- v'^

sine).

Cette égal

lé se décompose en deux autres ;

i r"cos«9 = Rcose.

{ /^sinBfl= RsinB:

si l'on élè^

e au carré ces deux égalités et si l'or

ajoute, on

trouve

par i"-»- 1 : es

que l'on prouverai! directement par les procFdéi ordinairei

inuUiple da -

eu éeri.flDt i au lieu de v'^ el bd rélabliisant partout la + ■ dans les rormutcB du Icite où il a élé omis.

Si l*ar réd

Dit le premier membre do la formule da Mo

•rc à l> rormo

losmS et 6 a

raisanl usage de li rormulc du bJuCuie, a d

.ra *lr« ép>l ù

OOjmS = CDE-S - *"'""'' cm— -0 Bili'fl -h.

1 *"* fl'iQS , ., j ' »" ^

ma» l'éludo

de ces formulfli irouTcra fin place dans la Tr

GUnoDii^tiie et

^^^ ooiu no nom

} urtterons pu.

et, en observant que r doit élre un nombre essenliellement positif oa nul,

W forniulcs (i) donnent alors

cosn5= dise, sinriO = sîiiO, Il par suite

ï désignant un entier quelconque, c'est-à-dire • • fl ® ■'' ' ^' '^

Si l'on désigne alors, avec Caiichy, par le symbole ^ ((A)) b racine «'*"" de l'imaginaire A, on voit que la racine n'*"" ie R (cosO+ ^ — I sin O) aura n valeurs données par la

v((R(cose-H v*— isine)))

(bmiule dans laquelle il sufiJra de faire A' successivement

égala o, I, 3,3 n — i. linelTel, si l'on fait A^ égala

ai-i-J, j désignant un entier compris entre o et n — i iDclusivemenl, et i désignant un entier quelconque positif OU oégatil, on obtient, pour la racine »'"°* de

tt(c,

'iino valeur dont l'argument ne diffère de que d'un

inaltiple entier de la circonfiirence, c'est-à-dire une valeur déji comprise parmi celles que l'on obtient en faisant k

74 TBAIl

égal ko, I, 2, 3, ...,n — i dans la formule (3); donc enfin la racine n'*"* d'une imaginaire a n valeurs, comme nous l'avions annoncé.

Au surplus, il est facile de voir que ces n valeurs sont toutes différentes, car les arcs compris dans les formules

diffèrent de moins d'une circonférence ; deux quelconques d'entre eux ne sauraient donc avoir à la fois même sinus et même cosinus,

REMAnQUE I. — Si, dans la formule (3), on suppose 6 ^ o, on trouve

JR ( cos - — 4- v^— I sin ■

- La formule (3) peut encore s'écrire

^— ism- I Icos h v*— [sn ]■

Or, en vertu de la formule (4)i dans laquelle on peut supposer R = I , cos h \l — i sin - — désigne une quelconque des racines n**"" de l'unité; 0 peut être censé représenter l'un quelconque des arguments de

R{cose-H v'^sine}

La formule précédente nous montre donc que les n racines n'*""' d'une imaginaire quelconque peuvent s'obtenir en multipliant l'une quelconque d'entre elles successivement par chacune des racines n'™*' de l'unité.

Dorénavant, lorsque nous ne spécifierons pas la valeur

(41 vm=

Rehikqde il .

v((R(cose-i- v'—

CHAPITHB IV. jS

d'uDe racine n'*". nous la représenterons par le symbole \/(( );; au contraire, lorsqu'il sera question d'une valeur bien déterminée de celte racine, par exemple lorsqu'il s'agira de celle qui a le plus petit argument positif, nous ferons usage du signe ij sans doubles parenlbèses.

TO. — CALCUL DES BADIGAUX ALfi£BBIQn£S.

Théorème I. — Si l'on multiplie chacune des valeurs de y [[ A )) par chacune des valfiirs de ^({ B)), on reproduit chacune des valeurs de y ((ÂB)).

En eiTet, soit

A = r,(cr.sfl, + v/^^sm9,).

(Bl par suite

(v(W)X?jÎB)j =

^sl-

^sin?

- . fl

pibrfflules dans lesquelles k, et kj, et par suite k, +^~3i Id^signent des entiers tout à fait quelconques. D'un autre

1 désignant un entier quelconque. De la comparaison de celte formule avec la précédente on déduit

Si l'oa voulait supprimer les doubles parenthèses, on le pourrait; mais il faudrait choisir convenablement les valeurs des radicaux.

Tréohêmb II. — Si l'on divise chacune des valeurs rfey((A)) par chacune des valeurs de y{(13)), on obtient n résultats différents qui sont les n valeurs de i^(( A ; B)),

Théobème III. — Si l'on élève à la puissance m les valeurs de'i^{{A.)), on obtient les valeurs de'^, ((A")).

Théoiièhe IV. — Si l'on extrait les racines m'*""" des n valeurs de y ({Al), on obtient les valeurs de "y ((A)].

RE.ujkiiQi.e. — Quand on a un radical de la forme

'■yffn).

il faut éviter de le simplifier et d'écrire

en effet, le premier membre de cette formule a mn valeurs, le second n'en a que n; quand on n'agit pas avec précaution dans le calcul des radicaux imaginaires, on s'expose souvent à tomber dans de grossières erreurs ; il ne faut pas en accuser l'emploi des symboles imaginaires, dont le calcul n'est pas loutà fait soumis aux mêmes règles que celui des quantités réelles. Ainsi, par exemple, on raisonnerait mal en écrivant

ïXj-

ciupiTnc IV.

En effet, dans la formule (i).

1 désigne une valeur parlicnlîère de \ {( — a)), [( — 2)( — 2) désigne une valeur particulière de {((4)); on ne peut, sans examen, égaler ces deux valeurs ; ei eu efiet , on a

(Prenons les D'aara pas

adJcaux avec le signe ■

; ou voit que l'on

Si l'on prend les radicaux avec le signe — , on arrive «ncore au même résultat. Dodc la formule (1) est touymn fausse si ^ — 2 j représente toujours la même valeur

Vm. ~ sus us ÉBUATIOIS El SÉStiUL.

s règles de la multiplication et de la division algébrî-

ws s'appliquent évidemment aux quantités imaginaires

7B TRAITE D ALGEBRE.

comme aux quantités réelles; il en est de même de la formule du binôme.

On peut former des iSqualions à l'aide de quanlilés l'éelles et imaginaires, et chercher s'il n'existe pas des quantités imaginaires satisfaisant à ces équations; les principes fondamentaux que nous avons démontrés sur la résolution des équations, dans la première Partie de cet Ouvrage, sont encore applicables aux cas où l'on considérerait des égalités entre quantités imaginaires; ces principes ne dépendent absolument que des quatre premières opérations de l'Algèbre, reconnues applicables aux quantités imaginaires. Ainsi, il n'y a rien à ajouter à la théorie des équations du premier degré et à la théorie des déterminants. 11 n'en est pas de même des équations du second degré où interviennent des questions sur les radicaux; il y a donc lieu d'examiner de nouveau la théorie des équations du second degré : c'est ce que nous allons faire.

- SUS LES iAU&TIOHS DU SECOND DSSEÉ.

Nous conviendrons de ne pas écrire l'indice d'un radical lorsque cet indice sera 2.

Cela posé, cherchons la raci ne carrée de n 4- A \ — 1 ; désignons cette racine par x -i-y y/ — 1 , nous aurons

1 bien

U + ^^Z-ij-

-iy/-

x' — y^+ ZXJ- ^— 1 = d -(- A ^— I

Cette équation équivaut aux deux suivantes : (1) 2*r=»i

cnAPiTfiB IV. 79

la dernière peut s^écrire, en la généralisant un peu,

(3) xV.=:£-.

A l'inspection des équations (i) et (3), on reconnaît immédiatement que X* et — j^ sont racines de Téqualion en u

ir — au j- = o,

d'où Ton déduit

c'est-à-dire, en observant que j^ doit être positif,

On déduit de là

L'équation (2) montre avec quels signes on doit prendrez: et j\ si, par exemple, b est positif, on prendra x et y de même signe, en sorte que l'on aura

Bo TEAlTé D*ALGSBaE.

si b est négatif, on aura, au contraire.

Si Ton fait i = o, on trouve : en supposant a > o,

en supposant a <C o,

ou, en explicitant les signes,

Une équation du second degré a toujours deux racines lorsque Ton admet pour Tinconnue des valeurs imaginaires : voici comment il faut entendre cette proposition. Considérons Téquation

x* -h px -f- 7 = o.

Supposons -j y <C o ; on peut se proposer de chercher

s'il existe pour x des valeurs de la forme a H- j3 ^ — i vérifiant cette équation, c'est-à-dire en sous-entendant dans le

second membre un multiple de (y/ — i)*--f-i. On trouve

alors successivement

(.fiAi'rTnG IV.

Z. — DES rOSCnORE DE TABIISLES nUGtRJUEES.

ToBl polynôme entier en r = j-(-j)v' — ' c*' ce que l'on appelle une fonctioii entière de =.

Soiiy"{u. s) une fonction entière de net*; toute expression de la forme X + ^ — lY qui, mise à la place de u dans l'équation

y satisfait, est ce que l'on appelle une fonction algébrique de z, mais il faut encore pour cela que X et Y soient des fonctions de j- et ^ i*).

En général, toute expression qui peut être ramenée lia forme X -H Y yj — i ou qui est définie par cette forme, X et Y désignant des fonctions de x et j, est ce qtte l'on appelle une fonction de x -f- y' — 1 1 , Toutes les fonctions qui ne sont pas algébriques sont transcendantes.

Une (onction X ■+- Y y' — i do j--t- i ^^^ — t est continue lorsqu'à un accroissement inliniment petit quelconque Aex-^-j\j — I correspond un accroissement infiniment '^petïl de X -+- Y ^ — 1 , et nous appelons ici accroissement d'une quantité la différence entre deux valeurs de cette 'quantité.

Pour qu'une fonction X-t-Yy' — t dej--hy'\' — t «oit continue, il faut et il sufTit évidemment que X et Y soient des fonctions continues de .r et dej; il faut et il sullit aussi que son module et son argument soient des fondions continues du module et de l'arguaient de sa variable. Ces

(*] PtuEi:!, Mimoirt uir Ut fonetiomt atg^brlqnrt {Jotirna! dt Liaui-iUf, j t- XV )i BiioT et BocQcn, Fnnttioni tllîiiiiquet, «oui pent-ètre Impmnian I qol llcDl adapUs eetic delliiition, iDJourtlIiui iJmUe pa: loui Ici «annU. 1 ilsit>,t^ II. û

83 TRMTE PAUIF.UBR.

proposUions deviennent évidentes si l'on représente les ima^instires à l'aide de points, comme il a été expliqué

plus haut.

XI. — DÉFINITIDIf DE LA rOHCTlOH EXPOHEHTIELLII. Nous avons dtfini le sjmbole

pour toutes les valeurs entières el positives de x, comme étant le produit de x facteurs égaux à r{cos6 4- \ — i Liinff}; nous en avons déduit la formule

Nous pouvons maintenant nous servir de cette formule pour définir le symbole [rlcosO -t->J — i sinO)]' lorsque X sera fractionnaire, incommensurable ou négatif. Ainsi /■*(cosSx + v' — > sinSj-) est ce que nous appellerons dorénavant la j:'"°" puissance de r(cosS-f-\/ — isinô).

La puissance ar'*"" de /■(cosS-*-^' — i sinS) n'a qu'une seule valeur lorsque j: est entier; mais il n'en est pas de même dans les autres cas. En elVet, l'expression (■(cosâ-+- ^ — i sinô) ne change pas quand on remplace 9 par 0+ aAjt, A désignant un entier quelconque ; ainsi les valeurs de [r{cosO-\-\/— isinô)]* seront données par la formule

HV'-

Si :r est inccm mule

e, les arcs compris dans la for-