CHAPITRE rv

loront pour ainus et cosinus uue infinité de nombres difTë- Knts, en sorte que la puissance x''°" d'une quantité iinagjjnaire a en général une infinité de valeurs.

Le lecteur se demandera sans doute pourquoi nous

défîni la puîssimce Iraclionnaire - de

D avons pa:

r(cosô + ./-

puis

0)à laide de la furf

[I) [KcosM

$)X~'^[r{cos(l^

pourquoi enfin noui

des puissances de q

que dans la définition des pu

tives. La raison en est simple

n'avons pas suivi dans la définition

quantités posintre défiuilioa,

[r(cose-r- v' — isin^jj^'cst une quantité qui possède plusieurs valeurs, îl est vrai, mais dont le nombre des valeurs ne change qu'avec la valeur et non avec la forme de x; ainsi nous avons

[j) [r(„.« + ,'3T,i„|))]'= rr(oo.( + ^^.in»)f= ....

Au contraire, en partant de rëqualion(i) pour définir les puissances fraciionoaires, on voit que

aurait q valeurs, et par conséquent varierait avec la forme

de la fraction '^i en sorte que, par exemple, la formule (a)

serait inexacte. De la défîntlion que nous venons de donner résulte la généralisation de la formule de Moîvre, à savoir

(cosO + v/— isinO)'^ Une quantité réelle étant t

nilablc à une imaginaire,

84 TRAITÉ D'ALGÂBRE.

on voît qu^une quantité réelle peut avoir une infinité de puissances a:'*'"~ dont une seule est toujours réelle.

Les règles des exposants s'appliquent encore aux imaginaires, avec certaines restrictions toutefois ; ainsi on a

[r{cos$ -h\/— \sm9)Y[r(cos9 -h\'— i sinô)]'

= r^(cosOxH- y— i sin(?.r)r*'(c()s^x' -h V"- isinôx')

= [r(cosO H- V I^siuÔ )]'■*■•''.

Les autres propriétés des exposants se démontreraient d'une manière semblable.

Théorème L — La fonction a^ est continue, lors même que l'on suppose a imaginaire.

Cela résulte évidemment de la formule

[r(cosô 4- \l — I sin6)J*^= /^(cosô^- -h y/ — isinO^r),

dans laquelle i^^ cosdx et sindj: sont des fonctions continues. Nous verrons plus loin comment on peut encore généraliser davantage la fonction exponentielle, en supposant sa variable imaginaire, et nous verrons qu'alors encore elle reste continue.

Théorème IL — Si Von a pour toutes les valeurs réelles de X et de y

et si la fonction ^{x) est continue, on a nécessairement a désignant une quantité réelle ou imaginaire*